第六章 6.4 6.4.3 第三课时 习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化探究】（人教A版）

一、复习巩固 1．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　) A.　　　　　　　 B. C．3 D．3 解析：C＝180°－30°－120°＝30°，∴a＝c＝2， ∴面积S＝.×2×2×sin 120°＝acsin B＝ 答案：B 2．已知三角形的面积为，其外接圆的面积为π，三角形的三边之积为(　　) A．1 B．2 C. D．4 解析：由题意得，外接圆的半径R＝1， S＝. ＝＝ababsin C＝ ∴abc＝1. 答案：A 3．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为(　　)[来源:学科网ZXXK] A.或 B.或 C. D.或 解析：由正弦定理，得sin C＝， ＝ ∵B＝30°，∴0°＜C＜150°， ∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，S△ABC＝； bcsin A＝ 当C＝120°时，S△ABC＝.bcsin A＝ 答案：B 4．已知三角形两边之差为2，它们夹角的余弦值为，面积为14，则这个三角形的这两边长分别是(　　)[来源:学科网] A．3和5 B．4和6 C．6和8 D．5和7 解析：设a－b＝2，cos C＝， ，sin C＝ S△ABC＝absin C＝14，故ab＝35. 由a－b＝2和ab＝35， 解得a＝7，b＝5. 答案：D 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析：∵S＝abcos C， ＝＝absin C＝ ∴sin C＝cos C，即tan C＝1. ∵C∈(0，π)，∴C＝. 故选C. 答案：C 6．钝角△ABC的面积为，则AC＝(　　) ，AB＝1，BC＝ A．5 B. C．2 D．1 解析：∵S△ABC＝.)＝5，∴AC＝×(－＝1，∴△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，∴B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2×1××，又B为△ABC的内角，∴B＝45°或B＝135°，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2×，∴sin B＝AB·BC·sin B＝ 答案：B 7．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC外接圆的半径为(　　)[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网Z#X#X#K] A．2 B．4 C. D．3 解析：S△ABC＝c. csin 45°＝acsin B＝ 又∵S△ABC＝2，∴c＝4. 又由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×1×4＝25， × ∴b＝5. 又∵＝2R， ∴R＝.＝＝ 答案：C 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________． 解析：∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝， ∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝. ＝×6×absin C＝ 答案： 9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，则b的值为______． ，a＝2，S△ABC＝ 解析：结合三角形面积公式可得，则bc＝3，①bcsin A＝ 锐角三角形中，由同角三角函数基本关系有cos A＝，[来源:学&科&网Z&X&X&K]＝ 结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得4＝b2＋c2－2×3×，则b2＋c2＝6，② ①②联立可得b＝c＝. 答案： 10．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A，则cos (B＋C)＝________. 解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵sin C＝2sin A知AB＝2BC＝2， 由余弦定理知cos A＝， ＝＝ 又A＋B＋C＝π， ∴cos (B＋C)＝－cos A＝－. 答案：－ 二、综合运用 11．在△ABC中，sin A＝，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 解析：法一：∵sin A＝，又A＋B＋C＝π， ∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin (A＋C)＋sin (A＋B)， ∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Acos B＋cos Asin B， ∴cos A(sin C＋sin B)＝0， 又sin C＋sin B≠0，∴cos A＝0， 又0<A<π，∴A＝， ∴△ABC为直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理及题设条件可得 a＝， 化简得