第六章 6.4 6.4.3 第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化探究】（人教A版）

一、复习巩固 1．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　) A．35海里 B．35 海里 C．35 海里 D．70海里 解析：由题可知∠C＝120°，AC＝50，BC＝30，由余弦定理得AB2＝302＋502－2×50×30×(－)＝4 900， ∴AB＝70. 答案：D 2．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．12米 解析：如图，设塔高为h，则AB＝h， BC＝h，BD＝h，∠BCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，得h＝10. 答案：C 3．如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　) A. B. C. D. 解析：在△ABC中，AC＝m，∠BAC＝α，∠BCA＝β. ∴∠ABC＝π－α－β. ∴sin ∠ABC＝sin (π－α－β)＝sin (α＋β)． 由正弦定理.＝得AB＝＝ 答案：C 4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1)m －1)m B．180( C．120(＋1)m －1)m D．30( 解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D. 由题意，得DC＝60×tan 60°＝60(m)， DB＝60×tan 15°＝60×tan (45°－30°) ＝60×＝60× ＝(120－60)m. 所以BC＝DC－DB＝60－1)(m)，故选C.－120＝120()＝120－(120－60 答案：C 5．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使点C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高度为(　　) A．10米 B．10 米 C．10米 米 D．10 解析：依题意，在△BCD中，CD＝10米，∠BCD＝105°，∠BDC＝45°，∴DBC＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理， ＝ 得BC＝(米)， ＝10＝ 在Rt△ABC中，∠BCA＝60°， ∴AB＝BC·tan ∠BCA＝10(米)． ＝10× ∴塔AB的高度为10 米． 答案：D 6．如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m，＝1.732)(　　) A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析：在△ACE中，tan 30°＝. ＝ ∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45°＝， ＝ ∴AE＝ (m)， ∴， ＝ ∴CM＝)≈37.3(m)． ＝10(2＋ 答案：C 7．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是(　　) A.，60° ，60° B. C.，30° ，30° D. 解析：如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m，高DE＝2＝2 m， m，则AE＝ ∴tan ∠DAE＝，∴∠DAE＝60°. ＝＝ 答案：B 8．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时． 解析：设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40·cos 45°＝302.[来源:Zxxk.Com] 化简得：4t2－8＝1..从而|t1－t2|＝，t1·t2＝t＋7＝0，∴t1＋t2＝2 答案：1 9．如图，在山顶铁塔上B处测得一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，若铁塔高为m米，则山高CD为_________． 解析：由已知，在△ABC中，∠BAC＝α－β，∠ABC＝－α， 由正弦定理，得＝ ∴AC＝， ∴CD＝ACsin β＝. 答案： 10．如图，位于A处的海上观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救，在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处援助，则sin ∠ACB＝________. [来源:学#科#网] 解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝1