专题04 平行四边形几何辅助线（专题详解）-2019-2020学年八年级数学下学期章末知识点专题详解（人教版） )

专题04 平行四边形几何辅助线专题详解 专题04 平行四边形几何辅助线专题详解 1 1 平行四边形 2 知识框架 2 方法1 分类讨论思想 2 一、动态讨论 2 （1）1个点的移动 2 （2）2个点的移动 2 二、高的位置的讨论 3 （1）过点作下（上）侧边的高 3 （2）过点右（左）侧边的高 3 三、求平行四边形第4点坐标 3 方法2 平行四边形的面积 4 一、利用面积解决问题 4 二、方程思想 4 方法3 构造中位线 4 一、连接法 4 （1）连接两中点 5 （2）知一中点，取另一中点 5 （3）知两中点，构双中位线 5 二、倍长法 5 （1）倍长垂直于角平分线的线段 6 （2）倍长线段 6 2 特殊的平行四边形 7 知识框架 7 方法1 矩形的折叠问题 7 方法2 构造斜边上的中线 8 一、连中点 8 二、取中点 9 方法3 60°的菱形模型 9 方法4 利用菱形的对称性解题 10 方法5 正方形的典型模型 10 一、a=2b型 11 二、a= 11 三、a± 11 四、a±b=型 12 方法6 构造正方形 12 一、利用45°角构造正方形 12 二、利用四边形构造正方形 13 三、利用直角三角形构造正方形 13 方法7 运用正方形的性质求坐标 13 方法8 动点问题的研究 14 1 平行四边形 知识框架 方法1 分类讨论思想 一、动态讨论 解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动 如下图，1个点C在直线AB上移动，会出现3种情况：①在线段AB左侧；②在线段AB当中；③在线段AB右侧，具体见例1. （2）2个点的移动 如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2. 例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。 例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。 二、高的位置的讨论 解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。 （1）过点作下（上）侧边的高 如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1 （2）过点右（左）侧边的高 如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2 上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。 例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。 例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。 三、求平行四边形第4点坐标 解题技巧：若四边形ABCD为平行四边形，已知点A、B、C的坐标，求点D的坐标，如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，这三条直线相互交于3点。这3点即为点D可能的位置。 例1.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。 方法2 平行四边形的面积 一、利用面积解决问题 解题技巧：平行四边形的面积=底×高 设为▱ABCD的底，为对应的高；为▱ABCD的另一个底，为对应的高 则： 需要注意，两条平行线之间的距离处处相等。 例1.如图，点E是▱ABCD的一边AD上任意一点，若△EBC的面积为，▱ABCD的面积为，求两者的数量关系。 例2.平行四边形两邻边分别为20和16，若两较长边之间的距离为8，求较短边之间的距离。 二、方程思想 解题技巧：方程思想是数学中的一种重要思想，当存在不知的量，我们可以设为未知数，然后当做已知，结合题型特点列写方程。在平行四边形的面积问题中，主要考虑平行四边形的底和平行四边形的高，若这两个量中有不知的量，我们可以设为未知数。 方程思想的优点在于可以正向推导求解题目，而不用逆向进行（逆向进行，往往较正向思路复杂一些）。 例1.如图在 中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，已知AE=4，AF=6，▱ABCD的周长为40，求▱ABCD的面积。 方法3 构造中位线 一、连接法 （1）连接两中点 解题技巧：中位线具有平行的位置关系，还为底边长的一半的长度关系，非常特殊。因此，若图形中出现2个中点，连接这两个中点，便可构造出中位线。 例1.如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF=DG。 （2）知一中点，取另一中点 解题技巧：若题干中已知1个中点，我们可以取另一个中点，连接后就可构造出中位线。 例1