专题九：利用三边关系来求取平行四边形中线段最值问题类型探究-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题九：利用三边关系来求取平行四边形中线段最值问题类型探究（带答案） 方法指引 线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有： 1、 特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证； 2、 几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题 3、 数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理； 4、 轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用 初二阶段所考查的几何最值问题往往体现在用几何定理法来求取，即应用几何中的不等量性质、定理来求取，涉及的知识点包括：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”等，在具体求取中通过“轴对称”，“平移”，可以找对称点实现化“折”转“直”，从而达到问题直观的转化，下面我们就来学习一下利用三边关系处理两点之间线段关系来求取平行四边形中线段的最值问题． · 知识点睛 【模型一】：定直线l上一动点与异侧两点所连线段之和最小 说明：“化折为直”是我们解决问题的根本，其本质如下： 三角形中两边之和大于第三边（AP′+BP′=AB＜AP+BP） 【模型二】：直线l上一动点与同侧两点所连线段之差最大 说明：“化折为直”是我们解决问题的根本，其本质如下： 三角形中两边之差小于第三边（BP′－AP′=AB＞） 【解题策略】 1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系， 2.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型； 2.知识转化，根据内在联系转化相关两线段和差与第三条线段大小之间的比较，,应用“三边关系”来求取所求线段最值，如何找寻相应的三角形是处理问题的关键． 典型例题 类型一：利用三点共线来求取线段的最小值 【例1】如图，点M、N分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，P是MN的中点，，则AP长度的最小值是________． 【分析】连接CP，当A，P，C三点共线时，AP最短，由P为中点，可知CP是定值，从而可得结论. 【详解】连接CP． ∵P为Rt△CMN的边MN的中点，MN=4，∴CP=MN=2是定值． 当A，P，C三点共线时，AP最短，如图， 此时AC= ．∴AP长度的最小值是. 类型二：利用三点共线求取线段的最大值 【例2】如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______． 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【详解】如图，取AB的中点E，连接OE，DE，OD. ∵OD≤OE+DE，∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时AB=2，BC=1， ∴OE=AE=AB=1，DE==， ∴OD的最大值为：+1，故答案为+1. 强化练习一 1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为____________. 解：如图，取AB的中点D，连接OD，CD. ∵△ABC是等边三角形，∴CD＝×2＝. ∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝×2＝1. 由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为+1．故答案为：+1． 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是___________________. 解：如图，取CA的中点D，连接OD，BD，则OD＝CD＝AC＝×4＝2， 由勾股定理，得BD＝＝2， 当O，D，B三点共线时点B到原点的距离最大， 所以点B到原点的最大距离是2+2．故答案为：2+2． 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△BCP，连接BA，则BA长度的最小值是_____. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝＝＝4， 由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3， 如图，当A、B′、C三点在一条直线上时，B′A有最小值， ∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案为：1． 4．如图，在△ABC