第28期 1.4整式的乘法-2019-2020学年七年级下册初一数学《数理报》北师大版（答案见下一期）

书书书 学习了整式的乘法后，对于某些与较大数的运算 有关的计算和比较大小问题，巧用字母表示数，进行以 “式”代“数”，可巧妙地利用整式的乘法提高解题效 率．下面举例说明． 一、用于计算 例１　计算：３．７８×２．７８×５．７８－３．７８３－１．７８２． 分析：此题若直接计算，则运算量很大，由于题目 中数字的小数部分相同，若设３．７８为ａ，则其他数都可 以用含ａ的代数式表示，运用整式的乘法计算即可． 解：设３．７８＝ａ，则２．７８＝ａ－１，５．７８＝ａ＋２， １．７８＝ａ－２． 所以３．７８×２．７８×５．７８－３．７８３－１．７８２ ＝ａ（ａ－１）（ａ＋２）－ａ３－（ａ－２）２ ＝ａ３＋ａ２－２ａ－ａ３－ａ２＋４ａ－４ ＝２ａ－４． 因为ａ＝３．７８， 所以原式＝２ａ－４ ＝２×３．７８－４ ＝３．５６． 二、比较大小 例２　设Ａ＝（ｘ－３）（ｘ－７），Ｂ＝（ｘ－２）（ｘ－ ８），则Ａ，Ｂ的大小关系为 （　　） Ａ．Ａ＞Ｂ Ｂ．Ａ＜Ｂ Ｃ．Ａ＝Ｂ Ｄ．无法确定 分析：此题可以先分别计算出Ａ，Ｂ的值，然后运用 作差法比较大小． 解：Ａ＝（ｘ－３）（ｘ－７）＝ｘ２－１０ｘ＋２１， Ｂ＝（ｘ－２）（ｘ－８）＝ｘ２－１０ｘ ＋１６． 因为Ａ－Ｂ＝ｘ２－１０ｘ＋２１－ （ｘ２－１０ｘ＋１６）＝５＞０，所以Ａ＞ Ｂ．故选Ａ． ! !" #$% !"#&'()* +,-.!!""#$%&'())*+ ,-./0123456)+78" $"9/:;<+&'=)>?" /0!12!"9@ABCDE&'+( ))*.FGHIJK" $"23=)LMNO &'=)>?P+78Q FG>?9R" 书书书 整式的乘法运算是本章的重点，又是同学们今后学 习其他知识的基础．在整个初中代数中起着承上启下的 作用．让我们一起去“大看台”感受一下吧！ 一、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的 幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 单项式与单项式相乘，主要是利用乘法交换律和结 合律，在运用单项式与单项式相乘的法则时，要注意以 下几点： １．积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再 计算绝对值． ２．相同字母的幂相乘，需运用同底数幂的乘法法则 进行计算． ３．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数 作为积的一个因式． ４．单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式 相乘同样适用． ５．单项式与单项式相乘，结果仍是单项式． 例１　计算：（２ａ）·（ａｂ）＝ （　　） Ａ．２ａｂ Ｂ．２ａ２ｂ Ｃ．３ａｂ Ｄ．３ａ２ｂ 解：原式 ＝２ａ２ｂ． 故选Ｂ． 二、单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去 乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 单项式与多项式相乘，应注意： 运算时，要注意积的符号，若将多项式中的每一项 前面的“＋”号、“－”号看作是性质符号，则单项式乘以 多项式各项的结果要用“＋”号连接，最后要写成省略加 号的代数和的形式． 例２　计算 ２ａ（ａ＋３ｂ）的结果等于 ． 解：原式 ＝２ａ２＋６ａｂ． 故填２ａ２＋６ａｂ． 三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 例３　计算：（ａ＋ｂ）２－ａ（ａ＋２ｂ＋１）． 解：原式＝ａ２＋ａｂ＋ａｂ＋ｂ２－（ａ２＋２ａｂ＋ａ） ＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２－ａ２－２ａｂ－ａ ＝ｂ２－ａ． 书书书 一、注意符号 在进行整式的乘法运算时， 同学们最容易出错的就是运算 的符号．因此，在进行整式的乘 法运算时，要先确定每一步计算 的符号． 例１　计算：１２ｘ·（－２ｘ ２）３ ＝ ． 分析：此题中含有积的乘方 运算、单项式与单项式的乘法运 算，先进行积的乘方运算，再利 用单项式乘以单项式计算得出 答案，注意单项式中系数的正 负．因为第一个单项式的系数为 正，第二个单项式的系数为负， 所以积的系数为负． 解：原式＝ １２ｘ·（－８ｘ ６） ＝－４ｘ７． 故填 －４ｘ７． 二、注意项数 一般地，单项式乘以单项式，积仍是一个单项式； 单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘 多项式的项数相等；多项式乘多项式，在合并同类项 前，积的项数等于相乘的两个多项式项数的乘积．计算 时要做到不重不漏． 例２　计算（ｘ－４）（ｘ＋１）的结果是 （　　） Ａ．ｘ２－３ｘ＋４ Ｂ．ｘ２－３ｘ－４ Ｃ．ｘ２＋３ｘ＋４ Ｄ．ｘ２＋３ｘ－４ 分析：此题是多项式与多项式的乘法运算，这两个 多项式都是两项，按照多项式乘以多项式的法则展开 后，没有合并同类项前，结果应该有四项，最后合并同 类项即可． 解：原式＝ｘ２＋ｘ－４ｘ－４ ＝ｘ２－３ｘ－４． 故选Ｂ． 三、注意使用括号 在进行整式的乘法与加减的混合运算中，先进行 乘法运