第31期 2.1 两条直线的位置关系-2019-2020学年七年级下册初一数学《数理报》北师大版（答案见下一期）

书书书 同学们在学习相交线时，经常要利用补角、余角和 对顶角的概念及其相关性质来求角的度数．若能充分利 用角的关系构造方程，则能化难为易 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 殏 殏殏 殏 ． 　　对顶角：两条直线相交所成的四个角中，有公 共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有这种位 置关系的两个角叫做对顶角．对顶角相等． 补角：如果两个角的和是１８０°，那么称这两个 角互为补角．同角或等角的补角相等． 　　余角：如果两个角的和是９０°，那么称这两个角 互为余角．同角或等角的余角相等． 　　例１　若一个角的余角是这个角的补角的 １４，则这 个角的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．９０° 分析：此题中的等量关系是一个角的余角是这个角 的补角的 １ ４，根据余角和补角的定义列方程求解即可． 解：设这个角的度数为ｘ°． 根据题意，得９０－ｘ＝ １４（１８０－ｘ）． 解得ｘ＝６０． 所以这个角的度数是６０°． 故选Ｃ． 例２　如图１，直线ＡＢ，ＣＤ相 交于点Ｏ，ＯＡ平分∠ＣＯＥ，∠ＤＯＥ 比∠ＡＯＥ大７５°，求 ∠ＢＯＤ的度 数． 分析：观察图形可知，∠ＢＯＤ 与∠ＡＯＣ是对顶角，利用角平分线的性质、∠ＣＯＥ与 ∠ＥＯＤ的补角关系构造方程，求出∠ＡＯＣ的度数，即可 求得∠ＢＯＤ的度数． 解：设∠ＡＯＣ的度数为ｘ°． 因为ＯＡ平分∠ＣＯＥ， 所以∠ＣＯＥ＝２∠ＡＯＣ＝２ｘ°． 因为∠ＤＯＥ比∠ＡＯＥ大７５°， 所以∠ＤＯＥ＝（ｘ＋７５）°． 因为∠ＣＯＥ＋∠ＤＯＥ＝１８０°， 所以２ｘ＋ｘ＋７５＝１８０． 解得ｘ＝３５． 由对顶角相等，得∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝３５°． 例３　如图２，直线 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ 相交于点Ｏ，∠ＡＯＥ∶∠ＡＯＤ＝１∶３， ∠ＣＯＢ∶∠ＤＯＦ＝３∶４，求 ∠ＤＯＥ 的度数． 分析：根据对顶角相等，得 ∠ＡＯＤ ＝∠ＣＯＢ，利用 ∠ＡＯＥ∶ ∠ＡＯＤ＝１∶３，∠ＣＯＢ∶∠ＤＯＦ＝３∶４表示出各个角， 再根据平角的定义列方程，最后根据∠ＤＯＥ＝∠ＡＯＥ＋ ∠ＡＯＤ即可得解． 解：因为∠ＡＯＥ∶∠ＡＯＤ＝１∶３，所以设∠ＡＯＥ＝ ｘ，∠ＡＯＤ＝３ｘ． 由对顶角相等，得∠ＣＯＢ＝∠ＡＯＤ＝３ｘ． 因为∠ＣＯＢ∶∠ＤＯＦ＝３∶４，所以∠ＤＯＦ＝４ｘ． 所以∠ＡＯＥ＋∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＦ＝ｘ＋３ｘ＋４ｘ＝ １８０°． 解得ｘ＝２２．５°． 所以∠ＤＯＥ＝∠ＡＯＥ＋∠ＡＯＤ＝４ｘ＝９０°． 书书书 生活中的孪生兄弟对陌生人来说是很难辨认的．垂 线与其相关概念就是数学中的“孪生兄弟”，对此，初学 者很难区分和掌握．下面对有关垂线的几组概念分别加 以区分，供同学们学习时参考． 一、垂直与垂线 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那 么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线，它们的交点叫做垂足． 从垂直的概念我们可以看出，垂直反映的是两条直 线的位置关系，是相交的一种特殊情况．如遇到线段与 线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线、射线与直 线相互垂直，是指它们所在的直线互相垂直． 垂线是对直线而言的，是几何图形．当两条直线构 成垂直关系时，才能把其中一条直线称为另一条直线的 垂线．如图１，若直线ａ与ｂ互相垂直，则直线ａ是直线ｂ 的垂线，或者说直线ｂ是直线ａ的垂线． 二、垂线与垂线段 垂线上一点与垂足之间的线段叫做垂线段．如图２， 过直线ＡＢ外一点Ｐ作直线ＡＢ的垂线ＭＮ，垂足为Ｏ，则 线段ＰＯ是一条垂线段．如果画射线或线段的垂线，就是 画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线 上，或线段的延长线上． 显然，垂线是直线，不能度量和比较大小．垂线段是 线段，可以度量．垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是 垂线上的一部分． 三、垂线与斜线 垂线和斜线是以两条直线相交是否成直角来区分 的，反映了两条直线的位置关系的不同． 过直线ＡＢ外的一点Ｃ作 直线ＡＢ的垂线，只能作一条， 如图３，ＣＤ⊥ ＡＢ，而过直线 ＡＢ外一点 Ｃ画斜线和直线 ＡＢ相交可画无数条，如直线 ＣＥ，ＣＦ，ＣＧ等，线段ＣＥ，ＣＦ，ＣＧ都比垂线段要长． 四、垂线段与点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到 直线的距离． 垂线段是一条线段，是一个几何图形，而点到直线 的距离是垂线段的长度，是一种数量关系．不能认为点 到直线的距离就是垂线段．如图３，点Ｃ到直线ＡＢ的距 离不是垂线段 ＣＤ，而是垂线段 ＣＤ的长度．这一点容易 忽略，一定要引起重视． 例　下列说法中正确的是 （　　） Ａ．垂线最短 Ｂ．两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相 等，那么这两条直线互相垂直 Ｃ．过一点有且只有一条直