第32期 2.2 探索直线平行的条件;2.3平行线的性质;2.4用尺规作角-2019-2020学年七年级下册初一数学《数理报》北师大版（答案见34期）

书书书 平行线的性质的主要用途是解决与平行线有关的 角度计算问题和判断角相等的问题，同学们要注意学会 根据题目条件，灵活运用性质解决问题． 一、直接运用平行线的性质 例１　 如图 １，已知 ＡＢ∥ ＣＤ，下列结论正确的是 （　　） Ａ．∠１＝∠２ Ｂ．∠２＝∠３ Ｃ．∠１＝∠４ Ｄ．∠３＝∠４ 分析：找出 ＡＢ，ＣＤ被哪些直线所截及其所形成的 内错角，根据平行线的性质判断即可． 解：因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以∠１＝∠４（两直线平行，内错角相等）． 故选Ｃ． 二、判断平行后再运用平行线的性质 例２　如图２，已知直线ＤＥ经过 点Ａ，∠１＝∠Ｂ，∠２＝５０°，则∠３的 度数为 （　　） Ａ．５０°　　　　　　Ｂ．４０° Ｃ．１３０° Ｄ．８０° 分析：首先由∠１＝∠Ｂ，根据“内错角相等，两直线 平行”，可判定直线ＤＥ∥ＢＣ，再根据“两直线平行，同位 角相等”，可得出∠３＝∠２． 解：因为∠１＝∠Ｂ， 所以ＤＥ∥ＢＣ（内错角相等，两直线平行）． 所以∠２＝∠３（两直线平行，同位角相等）． 因为∠２＝５０°，所以∠３＝５０°． 故选Ａ． 三、添加辅助线后再运用平行线的性质 例３　如图３，直线ＡＢ∥ＣＤ， ∠Ｃ＝４４°，∠Ｅ为直角，则 ∠１等 于 （　　） Ａ．１３２°　 Ｂ．１３４° Ｃ．１３６° Ｄ．１３８° 分析：过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＢ，可得出ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，根 据平行线的性质得出∠Ｃ＝∠ＦＥＣ，∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＦ，结 合直角的定义即可得解． 解：如图４，过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＢ， 因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡＢ∥ＣＤ∥ ＥＦ（平行于 同一条直线的两条直线平行）． 所以∠Ｃ＝∠ＦＥＣ，∠ＢＡＥ＝ ∠ＡＥＦ（两直线平行，内错角相 等）． 因为∠Ｃ＝４４°，所以∠ＦＥＣ＝４４°． 因为∠ＡＥＣ为直角， 所以∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＦ＝∠ＡＥＣ－∠ＦＥＣ＝４６°． 所以∠１＝１８０°－∠ＢＡＥ＝１３４°． 故选Ｂ． 书书书 三角尺常常会置身于判 断两直线平行的相关问题 中．具体解题时，需要充分借 助三角尺中的特殊角得出判 断两直线平行的条件．现举 例分类解析如下，供同学们 学习时参考． 一、单个三角尺来帮忙 例１　将一个三角板如 图１摆放，要使ＢＯ和ＣＤ平 行，则∠ＢＯＤ的度数为 （　　） Ａ．１０°　　　Ｂ．３０° Ｃ．４５°　　　 Ｄ．６０° 分析：借助已知图形，当满足∠ＢＯＣ＋∠Ｃ＝１８０° 时，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 ＢＯ∥ ＣＤ，由此计算出∠ＢＯＤ的度数． 解：要使ＢＯ∥ＣＤ，应满足∠ＢＯＣ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ｃ＝９０°， 所以∠ＢＯＣ＝１８０°－∠Ｃ＝９０°． 因为∠ＣＯＤ＝３０°， 所以∠ＢＯＤ＝∠ＢＯＣ－∠ＣＯＤ＝６０°． 故选Ｄ． 二、一副三角尺显身手 例２　将一副三角尺按如 图２所示放置，则∠ＦＡＤ的度 数为 时，可得 ＡＥ∥ ＢＣ． 分析：借助已知图形，当满 足∠ＣＡＥ＝∠Ｃ时，根据“内错角相等，两直线平行”， 可得ＡＥ∥ＢＣ，由此可得出∠ＦＡＤ的度数． 解：要使ＡＥ∥ＢＣ，应满足∠ＣＡＥ＝∠Ｃ＝３０°． 所以∠ＦＡＤ＝∠ＤＡＥ－∠ＣＡＥ＝１５°． 故填１５°． 点金石：利用三角尺中的特殊角，在较复杂的图形 中寻找具有相等关系的同位角或内错角或互补的同旁 内角，可为判断相关的直线平行创造条件． 书书书 上期２版 ２．１两条直线的位置关系 ２．１．１相交线与平行线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．１３５；　５．３６． ６．因为 ∠ＤＯＥ ＝９０°，∠１＝３０°，所以 ∠２＝ ∠ＤＯＥ－∠１＝６０°．所以∠３＝１８０°－∠２＝１２０°．由 对顶角相等，得∠４＝∠２＝６０°． ７．（１）因为ＯＭ平分∠ＡＯＢ，所以∠ＡＯＭ＝∠ＢＯＭ ＝ １２∠ＡＯＢ＝９０°，即∠１＋∠ＡＯＣ＝９０°．因为∠１＝ ∠２，所以 ∠２＋∠ＡＯＣ＝９０°，即 ∠ＮＯＣ＝９０°．所以 ∠ＮＯＤ＝１８０°－∠ＮＯＣ＝９０°． （２）因为∠ＢＯＣ＝４∠１，所以∠ＢＯＭ＝３∠１．因为 ∠ＢＯＭ＝９０°，所以∠１＝３０°．所以∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＭ－ ∠１＝６０°，∠ＭＯＤ＝１８０°－∠１＝１５０°． ２．１．２补角和余角 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； ４．∠ＡＯＤ，１５１°２７′２５″． ５．设这个角的度数为ｘ°． 根据题意，得１８０－ｘ＝３（９０－ｘ）＋１０． 解得ｘ＝５０． 答：这个角的度数为５０°． ６．（１）∠ＢＯＣ＋∠ＡＯＤ＝１８０°．理由如下： 因为∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，所以∠ＢＯＣ＋∠ＡＯＤ ＝３６０°－∠ＡＯＢ－∠ＣＯＤ＝１８０°． （２）因为∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＢＯＣ＝３４°，所以∠ＡＯＣ ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＝１２４°．因为 ＯＥ平分 ∠ＡＯＣ，所以 ∠ＥＯＣ＝ １２∠ＡＯＣ＝６２°．所以 ∠ＥＯＣ的余角的度数