专题八：正方形环境下三线段之间a2+mb2=kc2(m，k为系数)类型探究-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题八：正方形环境下三线段之间a2+mb2=kc2(m，k为系数)类型探究（带答案） 方法指引 我们知道勾股定理揭示了直角三角形三边（a，b，斜边c）的平方关系：a2+b2=c2，那么对于初中阶段三条线段a，b，c所涉及的a2+mb2=kc2(m，k为系数)类型，我们称之为线段的平方和关系，此类问题如何进行处理呢？ 首先：题中较为分散的三条线段，我们要通过正方形的环境下利用共顶点等线段进行旋转构图，进行全等三角形的证明，把已知条件中的a，b，c，进行必要的代换，把新得到的三条线段对等（或与其成倍比关系的线段）转为到一个直角三角形中； 其次：利用勾股定理，进行平方和关系的建构。 · 系数转化及联系 （1）含30°的直角三角形，三边之比， （2）含45°的直角三角形，三边之比 说明：注意线段之间的转化关系有两点 （1） 通过全等三角形得到的两条线段之间的对等和比例和差； （2） 通过勾股定理得到相应三条线段之间的平方和关系以及替换 · 知识点睛 当题目中出现等线段共端点的时候考虑补全旋转结构型的全等图形，正方形作为解题环境的存在，共顶点的等线段往往涉及到旋转类全等，进行辅助线的添加，从而进行条件的转化． 辅助线的添加的原则： 1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的. 2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论. 因此，对于证明线段平方的和、差关系类的题型，要设法构造出直角三角形，然后利用勾股定理及等式的性质进行转化，往往涉及到全等三角形的证明及相应辅助线的添加 典型例题 类型一：轴对称作图下的三线段的平方和关系 【例1】如图，在正方形ABCD的边的折线B-C-D上取一点P，P不与B，C，D三点重合，作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，直线DE交直线AP于点F． （1）如图1，若P在线段BC上，依题意补全图1； （2）如图1，若∠PAB=25°，求∠ADF的度数； （3）如图2，若P在线段CD上，请用等式表示线段AD，DF，EF之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意画出图形即可． （2）只要证明AE=AD，求出∠DAE，根据∠ADF=（180°-∠DAE）计算即可． （3）结论：2AD2=EF2+DF2．只要证明△BDF是直角三角形即可解决问题． 【解答】（1）补全的图如图1所示． （2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°． ∵AB=AE，∴AE=AD． ∵∠PAB=∠PAE=22.5°，∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-45°=45°． ∴∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE）=67.5°． （3） 结论：EF2+DF2=2AD2，理由： 如图2，连接BF、BD，BF与CD交于点K． ∵E、B关于AF对称，∴∠ABF=∠AEF，EF=BF． ∵AE=AB=AD，∴∠AEF=∠ADE=∠ABF． ∵∠ADC=∠ABC=∠C=90°，∴∠CDF+∠ADE=90°，∠CBF+∠ABF=90°． ∴∠CBF=∠CDF． ∵∠CKB=∠DKF，∴∠DFK=∠C=90°． 在Rt△DBF中，BD2=BF2+DF2， ∵DB2=2AD2，∴EF2+DF2=2AD2． 类型二：旋转作图下的三线段的平方和关系 【例2】在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到90°线段AQ，连接BP，DQ． （1）依题意补全图1； （2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2； ②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）①连接BD，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题； ②结论：BP=AB，，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB． 【解答】（1）补全图形如图1. 图1 （2）①如图2，连接BD． 图2 ∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ， ∴AQ