专题七：见中点倍长中线构造中心对称图形来解四边形类综合问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题七：见中点倍长中线构造中心对称图形来解四边形类综合问题（带答案） 【导例】矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH的长为（　　）． A．1 B． C． D． 方法指引 倍长中线：指在具体的几何图形中，如果出现经过中线或经过线段中点的线段时，应当把该中线或经过线段中点的线段延长一倍，从而构造SAS型全等三角形来解决问题． 操作方法：延长**到某点（或交**的延长线于*），使某某等于某某． 特征：将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而达到条件转化和应用条件的环境． 图态展示： 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 口决：三角形中有中线，延长中线等中线，8字全等现，条件移，答案显． 指出：倍长中线的思想在于倍长某条线段，使被延长的线段a要满足两个条件 ①线段a一个端点是图中一条线段b的中点； ②线段a与这条线段b不共线）， 在上述两个条件下，进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【导例答案】提示：如图，延长GH交AD于点P．答案选C． 典型例题 类型一：单一图形中倍长过中点的线段构造全等 【例1】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC＋CD． 【分析】由F为CD边上的中点，可以延长AF，BC交于点G，可证△ADF≌△GCF，得到AD=CG，进而利用CD=AD和等腰三角形的性质得到结论． 【解析】如图，延长AF，BC交于点G．先证明△ADF≌△GCF，∴CG=DA=CD，∠G=∠FAD， ∵∠DAF=∠EAF，∴∠G=∠EAF．∴AE=EG，∴AE=EC+CG=EC+CD． 类型二：组合图形中倍长过中点的线段构造全等 【例2】请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系． 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中线段PG与PC的关系及的值； （2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系． （3）将图2中的条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，（如图3），你在⑵中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【分析】（1）延长GP交DC于点H，依据三角形全等和等腰三角形的性质可以得到答案； （2） 辅助线方法同（1），从而可以得到PG与PC的位置关系及数量关系； （3） 证明方法同（2）． 【解析】⑴如图1，延长GP交CD于H． ∵P是DF的中点，∴DP=FP． ∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，∴DC∥GF． ∴∠HDP=∠GFP．∴△DHP≌△FGP（ASA），∴HP=GP， DH=FG． ∵CD=CB，FG=GB，∴CD-DH=CB-FG，即CH=CG．∴△HCG是等腰三角形． ∴PC⊥PG，∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一）．∴∠CPG=90°． ∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°．∴∠GCP=∠DCB=60°． 在Rt△CPG中，∠GCP=60°，∴． 故PG⊥PC，PG=PC，． ⑵PG⊥PC且PG=PC，理由如下： 如图2，延长GP交DC于点H． ∵四边形ABCD和BEFG是正方形，∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°． ∴CD∥GF．∴∠CDP=∠GFP． ∵P是线段DF的中点，∴DP=FP． ∴△DHP≌△FGP（ASA）．∴DH=FG，PH=PG．∴HC=GC．∴△HCG是等腰直角三角形． ∵PH=PG，∴PG⊥PC且PG=PC． ⑶如图2，延长GP交DC于点H，∵四边形ABCD和BEFG是矩形，∴FGB=∠GCD=∠DCB=90°． ∴CD∥GF．∴∠CDP=∠GFP． ∵P是线段DF的中点，∴DP=FP．∴△DHP≌△FGP（ASA）．∴PH=PG=HG． ∵∠DCB=90°，∴△HCG是直角三角形．∴CP=HG．∴PG=PC． 强化练习 1．（2018年四川）如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE