专题11 概率与统计-2020年高考数学（理）真题专练

专题11 概率与统计 第三十一讲 离散型随机变量及其分布 2019年 1.（2019天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率. 2．（2019全国I理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，其中 ， ， ．假设 ， ． (i)证明： EMBED Equation.DSMT4 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． 3.（2019北京理17）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由. 2015-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 = A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3 二、填空题 2．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次，表示抽到的二等品件数，则 = ． 三、解答题 3．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 类电影得到人们喜欢，“ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（ =1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系． 4．（2018全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ． (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的 作为 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的