专题六：菱形环境下三线段之间a+b=kc（k为系数）类型探究-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题六：菱形环境下三线段之间a+b=kc（k为系数）类型探究（带答案） 【导例】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①DE=BF；②∠BGE=60°；③DG+BG=CG；④S四边形DCBG=CG2；其中正确的结论有 （填写序号）． 知识点晴 在菱形的环境下三条线段a，b，c之间的和差关系（a±b=kc,k为系数）的证明往往会结合菱形的四边相等，利用相等线段共用顶点这一特点，构造旋转型全等来处理，其中全等的作用主要在于体现线段之间的转化和对等替换，若k=或作为系数出现的话，往往会对应题中明或暗的等边三角形（60°的直角三角形）． 方法体现：利用旋转意识，考虑旋转型全等进行辅助线的添加，在图形中通过相应的转化，使不共线的三条线段在一条直线上． 说明：当题目中出现共端点的相等线段时，往往考虑到旋转型全等进行构图和添加辅助线，从而使线段之间的和差关系得到集中，进而利用对等线段转化同一直线上的线段关系进行和差证明，辅助线的作用在于对条件进行适当的集中． 核心：（1）等边三角形ABC 其中：BD∶AD∶AB=1∶∶2 （2） “A”字形（手拉手）及其旋转 其中：△ADC≌△BEC 思想 ：转化思想 图态关联 ： 【导例答案】①②③ 典型例题 类型一：利用共顶点等线段构造旋转型全等来处理a+b=c类型 【例1】如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上． （1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积； （2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF． 【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BC边上的高，再根据菱形的面积等于底边乘以高列式计算即可得解； （2）将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，易得△AEE′为等边三角形，然后利用“角边角”证明△EE′B和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，从而得到BC=CE+CF，即可得证． 【解答】（1）在菱形ABCD中，AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形． ∵AB=4，∴等边△ABC底边BC上的高为4×=2． ∴菱形ABCD的面积=4×2=8； （3） 证明：如图， 将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形， ∴∠AE′E=60°． ∵∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC－∠AEF=∠AEC－60°． 又∵∠BE′E=∠AE′B－∠AE′E=∠AE′B－60°，∴∠BE′E=∠CEF． ∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，∴∠ECF=180°－60°=120°． 又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°， ∴∠E′BE=∠ECF． 在△EE′B和△FEC中，∴△EE′B≌△FEC（ASA）． ∴BE=CF．∴BC=CE+BE=CE+CF．∵AB=BC，∴AB=CE+CF． 方法二：如图， 作EG∥AC交AB于G．则△BEG是等边三角形． ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠B+∠EAG，∠AEF=∠B=60°，∴∠FEC=∠EAG． ∵AG=EC，∠AGE=∠ECF=120°，∴△AGE≌△ECF． ∴GE=CF=BG．∴AB=AG+BG=EC+CF． 类型二：利用共顶点等线段旋转型全等来处理三线段a+b=c类型 【例2】如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G. （1）依题意补全图形； （2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）利用旋转的性质进而得出对应点位置进而得出答案； （2）利用菱形的性质结合已知得出，∠ECF=∠ACG=120°，进而得出答案； （3）首先得出△ACE≌△GCF（ASA），再得出HG=CG，则AG=CG，进而得出答案． 【解答】（1）补全的图形如图所示. （2）由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α． ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°． ∴∠AGC=30°．∴∠AFC =α+30°． （3）用等式表示线段AE，AF与CG之间的数量关系为AE+AF=CG. 证明：如图，作CH⊥AG于点H． 由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°．∴CA=CG．∴HG =AG． ∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF，∴△ACE≌△GCF