鲁教版（五四制）（2012）九年级数学下册-5.7 切线长定理-教案

切线长定理 【教学目标】 1．切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。 2．应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。 3．让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙的向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。 【教学重点】 1．使学生理解切线长定义。 2．使学生掌握切线长定理，并能初步运用。 【教学难点】 灵活应用切线长定理解决问题。 【教学过程】 第一环节：创设情景，引入新课。 问题：有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？ 这里让学生们小组讨论，那么，该如何测量这个锅盖的半径呢？学生们众说纷纭，可能会利用90°的圆周角所对的弦为直径来作答，也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答，哪一种方法更好呢？ 教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB，OA，则四边形OBAP是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB。 如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？ 第二环节：合作学习，探究新知。 一、切线长定义。 （一）板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长。 （二）剖析定义： 1．找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长。） 2．定义中的“线段”具有什么特征？ （1）在圆的切线上；（2）两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。 3．在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA） （2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB） （3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？ （4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学。 二、切线长定理： （一）探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？ 探索步骤： 1．根据条件画出图形； 2．度量线段PA和PB的长度； 3．猜想：线段PA和PB之间的关系； 4．寻找证明猜想的途径； 5．在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类。 6．上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？ 请说明理由。 （二）剖析定理： 1．指出定理的题设和结论； 2．用符号语言表示定理： ∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO。 3．切线和切线长区别。 切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。 （三）拓展： 1．图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB交OP于点C，OP所在的直线交⊙O于点D、E，又能得出什么结论？并把它们分类。 2．如图5，已知⊙O的两条切线互相平行，A、B两点为切点，如果连接两切点AB，则AB是⊙O的直径吗？数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？ 答：（1）图3是轴对称图形，连接AB，结论a：△PAB是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理。结论b：AB⊥OP，出现了圆的垂径定理。 （2）AB是⊙O的直径。我们的日常生活中，球放在墙角，V形架中放入一个圆球等。如图7可以应用于解决日常生活中测量球体的直径。 3．如图8中，三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？ 4．老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能最大？ 答：只要做出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料。 三、圆的外切四边形的性质。 请同学们先在草稿本中做出有关已知圆O的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证。 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等。 第三环节：应用新知，体验成功。 一、例题学习。 1．例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径。 变式一：由于切线长定理的运用是本节的