专题五：正方形环境下三线段之间a±b=c关系类型探究-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题五：正方形环境下三线段之间a±b=c关系类型探究（带答案） 【导例】如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF=BE，CE交B于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH，下列结论：①BF⊥CE；②OM=ON；③OH=CN；④OH+BH=CH.其中正确的是有 ． 知识点晴 三条线段a，b，c之间的和差关系（a±b=c）的证明在正方形的大环境下，结合正方形的四边相等，从而相等线段共用顶点这一物特点，往往构造旋转型全等是处理这类问题的核心．其中全等的作用主要在于体现线段之间的转化和对等替换，而作为系数的出现往往对应题中明或暗的等腰直角三角形，所以找寻及证明相应的等腰直角三角形及其边比关系的应用是处理此类问题的关键． 方法体现：利用旋转意识，考虑旋转型全等进行辅助线的添加，在图形中通过相应的转化，使不共线的三条线段在一条直线上． 说明：当题目中出现共端点的相等线段时，往往考虑到旋转型全等进行构图和添加辅助线，从而使线段之间的和差关系得到集中，进而利用对等线段转化同一直线上的线段关系进行和差证明，辅助线的作用在于对条件进行适当的集中． 核心：（1）含45°的直角三角形，三边之比． 45° （2） “K”字型旋转 思想 ：转化思想 图态关联 【导例答案】①②④ 典型例题 【例】如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求证：AG+AE=AD的值； （3）若AB＝4，且F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题； （2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题； （3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题； 解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB． ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN． ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°．∴四边形ANEM是矩形． ∴∠MEN＝∠DEF＝90°．∴∠DEM＝∠FEN． ∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF．∴ED＝EF． ∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形． （2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°． ∴∠ADG＝∠CDE．∴△ADG≌△CDE．∴AG＝CE． ∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD； （3）如图，作EH⊥DF于H． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD． ∵F是AB中点，∴AF＝FB=2．∴DF＝＝2． ∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF．∴EH＝DF＝． ∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2．∴FM＝． ∴HM＝HF﹣FM＝． 在Rt△EHM中，EM＝＝． 强化练习 1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF． （1）求∠FDP的度数； （2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明． 解：（1）由对称得：CD＝C′D，∠CDE＝∠C′DE． 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C′D， ∵F是AC′的中点，∴DF⊥AC′，∠ADF＝∠C′DF． ∴∠FDP＝∠FDC′+∠EDC′∠ADC＝45°； （3） 结论：BP+DPAP，理由是： 如图，作AP′⊥AP交PD的延长线于P′． ∴∠PAP′＝90°． 在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP′＝∠BAP． 由（1）可知：∠FDP＝45°． ∵∠DFP＝90°，∴∠APD＝45°．∴∠P′＝45°．∴AP＝AP′． 在△BAP和△DAP′中，∵， ∴△BAP≌△DAP′（SAS）．∴BP＝DP′．∴DP+BP＝PP′AP； 2.如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于 直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF． （1）若∠BAP=α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF⊥DF； （3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明． 解：（1）由轴对称的性质得：∠EAP=∠BAP=α，AE=AB， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=