第一讲 三角恒等变换（和与差、二倍角公式）-邦国教育2020高考数学总复习专练(无答案)

第一讲.三角恒等变换（和与差.二倍角公式） 一、知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cosα－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝， 1－sin 2α＝，[来源:学.科.网Z.X.X.K] sin α±cos α＝sin. 4．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝(α＋β)－β； β＝－； ＝－. sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]； cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]； cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]； sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]． 二．方法总结 1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝k所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值． 三．典型例题 【例1】（1）．已知cos θ＝－，θ∈，则sin的值为________． （2）已知cos＝－，则sin的值为_______． （3）设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________ （4）已知α∈，sin α＝. ①求sin的值； ②求cos的值． 【例2】（1）已知sin＋sin α＝，则sin的值是________． （2）计算的值为________． 【例3】（1）证明：sin3x=3sinx﹣4sin3x； （2）试结合（1）的结论，求sin18°的值． （可能用到的公式：4t3﹣2t2﹣3t+1=（t﹣1）（4t2+2t﹣1）） 　 变式：证明三倍角的余弦分式：cos3θ=4cos2θ﹣3cosθ； （2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值． [来源:学*科*网] 【例4】（1）若tanα=2tan，则=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）． 【例5】化简并计算： （1）sin50°（1+tan10°）； （2）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（，π），sin（﹣β）=，β∈（0，），求cos（α+β）的值． 变式1：已知5sinβ=sin（2α+β），tan（α+β）=，求tanα 【例6】 ++…+=　 　． 变式1：cosπ+cosπ+cosπ=　 　． 变式2.sin54°sin18°=（　　） A． B． C． D． 【例7】已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题　 　． 【例8】若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=　 　． [来源:学。科。网Z。X。X。K] 四．课堂练习 1．已知cos α=，α∈（），则cos等于（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 2．若=tanα，则=（　　） A．﹣5 B．﹣5或7 C．5 D．5或7 3．若coaα+2cosβ=，sinα=2sinβ﹣，则sin2（α+β）=（　　） A．1 B． C． D．0 　 4．已知cosθ=﹣，θ∈（π，2π），则sin+cos=　 　． 5．的值是　 　． 6．已知函数f（x）=sinx+cosx﹣a在区间[0，2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　 　． 7．已知cosα+cosβ=，则coscos的值为　 　． [来源:学.科.网Z.X.X.K] 8．已知，则tan（α+β）的值为　 　． [来源:学科网] 9．sin220°+cos80°cos40°=　 　． 　 10．（1）化简求值： （2）已知=，求sinα的值． 11．化简求值： （1）． （2）tan25°+tan35°+tan25°tan35°． 　 五．自我检测 1若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=　 　． 2．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=　 　． 3．函数y=的单调递增区间是