第三讲 正余弦定理-邦国教育2020高考数学总复习专练(无答案)

第三讲. 正余弦定理 【学习目标】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 【高考考点】 1.正余弦定理的正逆运用。 2.解三角形。 一．知识梳理 1、 直角三角形中各元素间的关系：在中，。 （1）三边之间的关系：。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2、 斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 。（R为外接圆半径） 3、 正弦定理：＝＝＝2R的常见变形： (1) sin A∶sin B∶sin C=a:b:c； (2) ＝＝＝＝2R； (3) a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4) sin A＝，sin B＝，sin C＝. 4、 三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 5、 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理的公式： 或 . 6、 （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 二．基础训练 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　　　 2.在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　) A．1 B．2 C.－1 D. 4.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于 (　　) A．60° B．45°或135° C．120° D．30° 5.在△ABC中，a＝10，b＝8，C＝30°，则△ABC的面积S＝ . 6.在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________． 7.在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积． 三．经典例题 例1. 已知的三边分别是、、，且面积，则角= ____ [来源:学&科&网Z&X&X&K] 变式1.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值是______ 例2. 的三个内角A，B，C所对的边分别为，则_____。 例3.在中，，则是 A.等边三角形 B.等腰非等边的锐角三角形 C.非等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 变式1：在中，已知，那么一定是（ ） A. 直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 例4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角； （2）若a＋b＝4，设D为AB的中点，求线段CD长的最小值． 变式1.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高． 例5. 如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．[来源:学科网]C A D B （1）求证：； （2）若，求的值． 例6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， 且． （1）求角的大小； （2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值 [来源:学科网] 例7.在△中，为锐角，且． （1）若，，求的长；[来源:学科网] （2）若，求的值． 例8.在△中，若，则的值为 ． 例9.在△ABC中，角，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，．（1）求的值；（2）求c的值． *在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， 且，则实数的取值范围是 ． 四．专题训练 1、在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．[来源:Zxxk.Com] 2、在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3.、在△ABC中，若2