第十讲 点与直线、直线与直线位置关系-邦国教育2020高考数学总复习专练(无答案)

第十讲 点与直线.直线与直线位置关系 （1）两直线平行与垂直 当，时， ； 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （2）两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解。 方程组无解 ； 方程组有无数解与重合 （3）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点， 则 （4）点到直线距离公式：一点到直线的距离 （5）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 考点1　两直线的平行与垂直 例7. 已知两直线，,问：取何值时，与满足：（1）平行；（2）重合；（3）相交。 【思路点拨】对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。转化时要注意对斜率是否存在（即的系数是否为）进行讨论。 【解析】（1）方法一: 当时，, ，此时； 当时，, 由,解得 方法二: 当时，, ，此时； 当时，由解得 ∴ 当或时， （2）当时，解得, ∴ 当时，和重合。 （3）当时，解得，， ∴ 当且且时，和 相交。 【总结升华】判定两条直线的位置关系，应特别重视系数是否为零的讨论，平行重合详加区分。 例8.直线l1: ax+(1-a)y=3与直线l2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。 【答案】方法一：当a=1时，l1: x=3, l2: , ∴l1⊥l2 当时，l1: , l2: , 显然两直线不垂直 当a≠1且时，l1: , l2: ∴ ，由k1·k2=-1 得 ，解得a=-3 ∴当a=1或a=-3时，l1⊥l2。 方法二：∵a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3 ∴当a=1或a=-3时，l1⊥l2。 [解题方法] （1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. （2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 考点2　两直线相交及距离公式的应用 例9. 求点P0（―1，2）到下列直线的距离： （1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0． 【答案】（1）（2）（3）1 【解析】（1）根据点到直线的距离公式得． （2）直线方程可化为x+y―2=0，所以． （3）因为直线y―1=0平行于x轴，所以d=|2―1|=1． 例10.已知在△ABC中，A（1，1），，C（4，2）（1＜m＜4），求m为何值时，△ABC的面积S最大？ 【答案】 【解析】 以AC为底，则点B到直线AC的距离就是AC边上的高，求出S与m之间的函数关系式． ∵A（1，1），C（4，2）， ∴．[来源:Z。xx。k.Com] 又直线AC的方程为x―3y+2=0，[来源:学_科_网] ∴点到直线AC的距离， ∴． ∵1＜m＜4，∴， ∴，∴， ∴当，时，S最大． 故当时，△ABC的面积最大． 【总结升华】利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论． [解题方法]　 (1)常见的三大直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. (2)运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数分别化为相同的形式. 考点3　对称问题 例11 (1)求点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点坐标． (2)已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程． （1）【答案】（1，4） 【解析】设点A＇（a，b）是点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点，则有AA＇与已知直线垂直且AA＇的中点在已知直线上． ∴，解得a=1，b=4． ∴所求对称点坐标为（1，4）． 【总结升华】点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直问题来解决． （2）【答案】2x+11y+16=0 【解析】 解法一：由，得直线1与的交点为P（3，―2），显然P也在直线2上． 在直线1上取一点A（2，0），又设点A关于直线的对称点为B（x0，y