第十一讲 圆与方程-邦国教育2020高考数学总复习专练(无答案)

第十一讲 圆与方程 【要点复习】 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 与两坐标轴都相切 1.表示圆方程，则 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系 点在圆内；点在圆上；点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值 （2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值 思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）[来源:学科网ZXXK] 3.以为直径两端点的圆方程为 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（为圆心到直线的距离） （1）相离没有公共点 （2）相切只有一个公共点 （3）相交有两个公共点 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线与圆相切意味圆心到直线的距离恰好等于半径 （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 i）点在圆外 如定点，圆：，[] 第一步：设切线方程 第二步：通过，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了. 如：过点作圆的切线，求切线方程. 答案：和 ii）点在圆上 若点在圆上，则切线方程为 注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. ③求切线长：利用基本图形， 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题(最短,最长)：垂径定理及勾股定理 （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题 4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、圆与圆的位置关系 1.判断方法：几何法（为圆心距） （1）外离 （2）外切 （3）相交 （4）内切 （5）内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 注：若与相切，则表示其中一条公切线方程； 若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3．圆系问题 （1）过两圆：和：交点的圆系方程为（） 注：1）上述圆系不包括； 2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （2）过直线与圆交点的圆系方程为 （3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题 ①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线； ③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线 【典型例题】 类型一：圆的方程 例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例2 已知圆，求过点与圆相切的切线． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解． 例3 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方