专题四：四边形中的折叠类问题探究-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题四：四边形中的折叠类问题探究 【导例】如图，在▱ABCD中，AB＝，AD＝4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　 　． 知识点晴 图形的折叠是指把某个图形沿某条直线翻折，这边直线为对称轴，在折叠过程中，线段的长度及角度不会发生变化． 问题1：折叠（轴对称）的思考层次有哪些？ 答：（1）全等变换：对应边相等，对应角相等； （2）对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等． 指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换； （2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究． （3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形， 问题2：折叠（轴对称）时所涉及的辅助线会呈现那些特点？ 答：（1）解图形的折叠问题，首先要正确添加完整显示折起部分与重合部分的辅助线； （2）了解到折起部分与重合部分的全等属性，并注意运用全等形的性质； （3）字母化，建立方程，函数等关系式，体会到数形结合，必要时从动手操作中寻找答案，都是解该类问题常用的技巧 指出： 在添加辅助线时，发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的. 问题3：图形的折叠问题常涉及的两大类题型有哪些？ 答：⑴考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等； ⑵考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角． 解题思路指引： （1）以折叠为背景的问题，要根据题意，找准对应点，看清对应边，注意对折痕作为对称轴的作用，想象其中对等的元素，如点、线(角)等条件的转移，再结合几何图形的性质，大胆地猜想结果并加以证明来解决问题； (2)利用折叠工具解决问题，要注意观察，通过折叠前后部分的对称性，运用全等的性质，必要时注意分类进行讨论． 【导例答案】∵翻折后点B恰好与点C重合， ∴AE⊥BC，BE＝CE， ∵BC＝AD＝4， ∴BE＝2， ∴AE＝＝＝3． 故答案为：3． 典型例题 类型一：依据折叠后落点的确定性来完成处理问题 【例1】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G. （1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是___________形； （2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F. ①求证：BF=AB+DF； ②若AD=AB，试探索线段DF与FC的数量关系. 图1 【分析】（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是正方形，理由为：由折叠得到两对边相等，三个角为直角，确定出四边形ABEG为矩形，再由矩形对边相等，等量代换得到四条边相等，即邻边相等，即可得证； （2） ①如图2，连接EF，由ABCD为矩形，得到两组对边相等，四个角为直角，再由E为AD中点，得到AE=DE，由折叠的性质得到BG=AB，EG=AE=ED，且∠EGB=∠A=90°，利用HL得到直角三角形EFG与直角△EDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DF=FG，由BF=BG+GF，等量代换即可得证；②CF=DF，理由为：不妨假设AB=DC=a，DF=b，表示出AD=BC，由①得：BF=AB+DF，进而表示出BF，CF，在直角△BCF中，利用勾股定理列出关系式，整理得到a=2b，由CD-DF=FC，代换即可得证． 类型二：依据折叠后落点的不定性分类讨论来处理问题 【例2】如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC上（BG＜GC），另一端F落在矩形的边上，BG=10． ⑴请你在备用图中画出满足条件的图形； ⑵求出折痕GF的长． 【分析】分两种情况：当点F在AB上时和当点F在AD上时，都能使点B落在AD上，由翻折的性质和勾股定理可求得GF的长 基础练习一 1.如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G.则BG的长为 （　　）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上点A′处，则AE的长为　 　. 3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折