2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-4【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第一节　曲线的参数方程 第一课时　参数方程的概念与圆的参数方程 [课标领航]　1．理解曲线参数方程的有关概念．　2．掌握圆的参数方程．　3．能够根据圆的参数方程解决最值问题． 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数________①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的________，联系变数x，y的________叫做参变数，简称________．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________． 2．圆的参数方程 (1)如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，则________． 这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM0绕点O________旋转到OM的位置时，OM0转过的角度． (2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程 普通方程[来源:学+科+网Z+X+X+K] 参数方程 ________ (θ为参数) 自我校对 1．　参数方程　变数t　参数　普通方程 2．(1)(θ为参数)　逆时针 (2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2　a＋rcos θ　b＋rsin θ 1．曲线(t为参数)与坐标轴的交点是(　　) A.，　　　　　 B．， C．(0，－4)，(8，0) D．，(8，0) 解析：分别令x＝0，y＝0，可得交点分别为，. 答案：B 2．下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的为(　　) A．(2，7) B． C. D．(1，0) 解析：将参数方程化为直角坐标方程y＝1－2x2，将各点的坐标代入验证可知选C. 答案：C[来源:Zxxk.Com] 3．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(θ为参数)的圆心位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：直线y＝ax＋b通过一、二、四象限，则a<0，b>0，∴圆心(a，b)在第二象限． 答案：B 4．曲线的参数方程为：(t为参数)，已知点(2，a)在曲线上，则a＝________． 解析：2＝2t，t＝1，所以y＝3＋2＋2＝7，∴a＝7. 答案：7 5．把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________． 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2， 故参数方程为(θ为参数)． 答案：(θ为参数) 类型一　参数方程的概念 例1,►参数方程为(t是参数)表示的曲线是(　　) A．一条直线　　　　　 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 【解析】　A错，因为没有注意变量的范围：x≥2或x≤－2.B错，不是两条直线，是两条射线，概念不清．C错，x≥2或x≤－2，忽略了一种可能，只有D对． 【答案】　D 【点拨提升】　(1)参数t是联系变数x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数． (2)参数的选取一般需注意两点：①x，y的值可由参数惟一确定；②参数与x，y的关系比较明显，容易列出方程．[来源:Zxxk.Com] (3)参数的选取可根据具体条件，如时间、线段长度、方位角、旋转角等． 1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　) A. B． C. D． 解析：A中x＝t2＋1≥1不能代表x轴；B中表示y轴；C中x≤2不能代表x轴；故只能选D.[来源:学科网] 答案：D 类型二　圆的参数方程 例2,►已知C(r，0)(r>0)，动点M满足|MC|＝r，根据下列选参数的方法，分别求动点M的轨迹方程． (1)以x轴正方向到CM所成角θ为参数； (2)以x轴正方向到OM所成角α为参数． 【解析】　(1)如图所示，依题意动点M的轨迹是以C(r，0)为圆心，r为半径的圆，设圆和x轴的正半轴交于A，OA为直径． 设M(x，y)，作MN⊥Ox于N， 在Rt△MCN中，|CM|＝r，∠ACM＝θ， ∴x＝ON＝OC＋CN＝r＋rcos θ，y＝MN＝rsin θ. ∴动点M轨迹的参数方程是(θ为参数)． (2)设点M的坐标为M(x，y)，OA＝2r， 则ON＝OAcos α·cos α＝2rcos2α， NM＝OAcos α·sin α＝2rsin α·cos α＝rsin 2α. ∴点M的轨迹方程是(α为参数)． 【点拨提升】　应用参数方程求轨迹方程是解轨迹问题常用的方法，而参数的选择不是惟一的，要根据已知条件恰当选择参数，选择的参数不同，方程的复杂程度也不同． 2．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀速(角速度)运动，角速度为 rad/s，试以时间t