第17章 重点突破训练：应用勾股定理解决实际问题-简单数学之2019-2020学年八年级下册同步讲练（人教版）

第17章 重点突破训练：应用勾股定理解决实际问题 类型一：勾股定理与折叠问题 典例：（2019·江西初二期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积； （2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 方法或规律点拨 此类问题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答. 巩固练习 1、（2019·辽宁初二期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． （1）证明：EF＝EG； （2）求AF的长． 2、（2019·江苏初二期中）已知：如图，在四边形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在边上点处. （1）求证：； （2）求的长. 3、（2019·江苏初二期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上． （1）折叠后，DC的对应线段是　 　，CF的对应线段是　 　． （2）若∠1＝55°，求∠2、∠3的度数； （3）若AB＝6，AD＝12，求△BC′F的面积． 4、（2019·达州铭仁园中学初二期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8． （1）求对角线AC的长； （2）点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠．点D恰好落在线段AC上，与点F重合，求线段DE的长． 5、（2019·达州市通川区第八中学初二期中）如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCO 是长方形,B 点的坐标是 (2,3) ,C 点的坐标是 (2,0) .若 E 是线段 BC 上的一点，长方形 ABCO 沿 AE 折叠后，B 点恰好落在 x 轴上的 P 点处，求出此时 P 点和 E 点的坐标。 类型二：勾股定理与网格图 典例：（2019·吴江市屯村中学初二期末）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为　　　　　　； （2）图中格点△ABC的面积为　　　　　　； （3）判断格点△ABC的形状，并说明理由． 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 巩固练习 1、（2020·黑龙江初三期末）如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上. （1）在方格纸中画出以为一边的锐角等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为； （2）在方格纸中画出以为一边的直角三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为5； （3）连接，请直接写出线段的长. 2、（2020·江苏初二期中）如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直． （1）画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′； （2）直线m上存在一点P，使△APB的周长最小； ①在直线m上作出该点P；（保留画图痕迹） ②△APB的周长的最小值为　 　．（直接写出结果） 3、（2019·河南初三期中）如图，平面直角坐标系中，以点C为坐标原点，点，，将绕点A顺时针旋转90°． （1）在图中画出旋转后的，并写出点、的坐标； （2）已知点，在x轴上求作一点P（注：不要求写出P点的坐标），使得PD的值最小，并求出的最小值； （3）写出在旋转过程中，线段AB扫过的面积 4、（2020·四川初二月考）在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： （1）如图（1），△ABC 的三个顶点A、B、C都在格点上，试判断△ABC的形状，并加以证明； （2）如图（2），连结三格和两格的对角线，利用（1）的图形特征，求出∠α+∠β的度数． 类型三：在几何图形中应用勾股定理 典例：（2020·福建南安华侨中学初二期末）（问题情境） 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中