专题17.2 勾股定理逆定理及应用（讲练）-简单数学之2019-2020学年八年级下册同步讲练（人教版）

专题17.2 勾股定理逆定理及应用 一、知识点 1、勾股定理的逆定理：两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。第三边即为直角三角形的斜边。 2、勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形 勾股定理的逆定理常与勾股定理配合使用，有逆定理判定直角三角形的存在，再由勾股定理来构造方程或利用直角三角形的性质，解决几何问题。另外，勾股数的规律的判定也是常见问题。 二、考点点拨与训练 考点1：勾股定理的逆定理 典例：（2019·重庆八中初二期末）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,AD2=12+32=10,BC2=52=25,CD2=12+32=10,BD2=12+22=5， ∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2， ∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形， 故选C. 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. 巩固练习 1、（2020·江西高安中学初二期末）已知是的三边，且满足，则是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0， ∴a-b=0，或a2-b2-c2=0， 即a=b或a2=b2+c2， ∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 2、（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确； B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确； C、72+242=252，152+202=252，故C正确； D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确． 故选C． 3、（2019·江苏省泰兴市济川中学初二期中）下列命题：①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k、4k、5k仍是勾股数；②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶1:；③如果一个三角形的三边是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边是5．其中正确的个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】 ①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k、4k、5k仍是勾股数；应(k是正整数)，错误； ②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶1:；正确； ③如果一个三角形的三边是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；92+122≠132；错误； ④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边不一定是5；故错误. 考点2：勾股定理逆定理在网格图中的应用 典例：（2019·四川初二期末）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你利用上述方法求出△ABC的面积． （2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、 ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）画图见解析；①△DEF是直角三角形，理由见解析；②2 【解析】 解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=； （2）如图所示： ∵DE=，EF=2，DF=， ∴DE2+EF2=DF2， ∴△DEF是直角三角形． △DEF的面积=． 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积经常用到． 巩固练习 1、（2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示． （1）分别写出△ABC各个顶点的坐标； （2）判断△ABC的形状； （3）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'． 【答案】（1）A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3);（2）△ABC是等腰直角三角形；（3）答案见解析. 【解析】 解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3); (2)根据勾股定理可得： ∴BC=AC，且