人教B版高中数学选修2-2 第一章1.1.2瞬时速度、导数的概念 1.1.3导数的几何意义 课件 (3份打包)

1.1 导数 1.1.2 导数 【提出问题】 质点M的运动方程为s(t)=t2，求t=1时的瞬时速度。 那么，对于一般函数f(x)的瞬时变化率怎么定义呢？ 【抽象概括】 设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值 相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)， 如果当Δx趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数l， 则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率． 事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)的瞬时变化率． 【抽象概括】 当Δx趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数l， 记作：当Δx→0时， →l. 还可记作 【获得新知】 函数 在x0 处的瞬时变化率称为函数 在x0处的导数，通常记作 y＝f(x) f′(x0) 即 f′(x0)＝ ＝ . 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数． 【概念领悟】 （4）这里研究的是两个变量 比值变化的性质与状态，尽管在变化过程中 都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。 【概念领悟】 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 【概念领悟】 【经典例题】 例1．已知函数 求f（x）在x＝－1处的导数 【规律技巧】求函数 在x＝x0处的导数的步骤为： 第一步：求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率 ＝ 第三步：取极限，得到导数f′(x0)＝ . 【经典例题】 例2.求函数f(x)＝x2＋ 的导数． 【规律技巧】求函数y＝ 的导数的步骤为： 第一步：求函数的增量 ； 第二步：求平均变化率Δy/Δx； 第三步：取极限，得到导数f′(x)＝ 【经典例题】 【规律技巧】求参数的值一般列方程求解。 例3：已知函数 且 求 的值． 【总结提炼】 这节内容我们从一个实例出发，得到物体的运动函数的瞬时变化率就是瞬时速度，一般函数的瞬时变化率我们称为导数。注意一点的导数和区间的导数的区别。 1．对导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)存在，则称f(x)在x＝x0处可导． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝eq \o(li m,\s\do14(x→x0)) eq \f(fx－fx0,x－x0)，与概念中的f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)意义相同． $$1.1 导数 1.1.2 瞬时速度 【提出问题】 在物理学中，我们知道物体作匀速直线运动，速度是路程与时间之比： 而自由落体、竖直向上发射火箭、一段平直轨道上行驶的高铁列车、一段平直高速路上行驶的汽车都是变速直线运动，这类运动路程随时间变化，速度也随时间变化。 问题1：物体作变速直线运动时，速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 【抽象概括】 由上节课知识可知，从 到 这段时间内，物体运动的平均速度是 所以，平均速度 就是函数 在区间 的平均变化率 【提出问题】 问题2：在区间 ，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 【提出问题】 问题3：在某一时刻 ，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 联想二分法，计算 值的逼近法，上节课的分割法，时刻 我们也采用分割逼近的方法。 【提出问题】 看一个实例，我们来研究怎样实现逼近。跳台跳水运动员在时刻 距离水面的高度函数 求运动员在 时竖直向上的速度？