专题06 数列-2020年高考数学（理）真题专练

专题06数列 第十三讲 递推数列与数列求和 2019年 1.（2019天津理19）设 是等差数列， 是等比数列.已知 . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 . （i）求数列 的通项公式； （ii）求 . 2015-2018年 一、填空题 1．(2018全国卷Ⅰ)记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____． 2．（2017新课标Ⅱ）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 ． 3．（2015新课标Ⅱ）设 是数列 的前 项和，且 ，则 =__． 4．（2015江苏）数列 满足 ，且 （ ），则数列 前10项的和为 ． 三、解答题 5．（2018浙江）已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项．数列 满足 ，数列 的前 项和为 ． (1)求 的值； (2)求数列 的通项公式． 6．(2018天津)设 是等比数列，公比大于0，其前 项和为 EMBED Equation.DSMT4 ， 是等差数列．已知 ， ， ， ． (1)求 和 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 EMBED Equation.DSMT4 ， (i)求 ； (ii)证明 EMBED Equation.DSMT4 ． 7．（2017江苏）对于给定的正整数 ，若数列 满足 对任意正整数 EMBED Equation.DSMT4 总成立，则称数列 是“ 数列”． （1）证明：等差数列 是“ 数列”； （2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列． 8．（2016年全国II） 为等差数列 的前n项和，且 ， ．记 ，其中 表示不超过x的最大整数，如 ， ． （Ⅰ）求 ， ， ； （Ⅱ）求数列 的前 项和． 9．（2015新课标Ⅰ） 为数列 的前 项和，已知 ， （Ⅰ）求 的通项公式： （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和． 10．（2015广东）数列 满足： ， ． （1）求 的值； （2）求数列 的前 项和 ； （3）令 ， EMBED Equation.DSMT4 证明：数列 的前 项和 满足 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题06数列 第十三讲 递推数列与数列求和答案部分 2019年 1.【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， 依题意得 解得 故 . 所以， 的通项公式为 的通项公式为 . （Ⅱ）（i） . 所以，数列 的通项公式为 . （ii） . 2015-2018年 1． 【解析】通解 因为 ，所以当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ． 所以 ． 优解 因为 ，所以当 时， ，解得 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ， 所以 ． 2． 【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ， 解得 ， ， ∴ ，所以 ， 所以 ． 3． 【解析】当 时， ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ，所以 ． 4． 【解析】由题意得： 所以 ． 5．【解析】(1)由 是 ， 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 ． 由 得 ， 因为 ，所以 ． (2)设 ，数列 前 项和为 ． 由 ，解得 ． 由(1)可知 ， 所以 ， 故 ， ， ． 设 ， ， 所以 ， 因此 ， ， 又 ，所以 ． 6．【解析】(1)设等比数列 的公比为q．由 可得 ． 因为 ，可得 ，故 ． 设等差数列 的公差为d，由 ，可得 由 ， 可得 从而 故 所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 (2)(i)由(1)，有 ， 故 ． (ii)证明：因为 ， 所以， ． 7．【解析】证明:（1）因为 是等差数列，设其公差为 ，则 ， 从而，当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， 因此等差数列 是“ 数列”. （2）数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，因此， 当 时， ，① 当 时， .② 由①知， EMBED Equation.DSMT4 ，③ EMBED Equation.DSMT4 ，④ 将③④代入②，得 ，其中 ， 所以 是等差数列，设其公差为 . 在①中，取 ，则 ，所以 ， 在①中，取 ，则 ，所以 ， 所以数列 是等差数列. 8．【解析】（Ⅰ）设 的公差为 ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ， ． （Ⅱ）记 的前 项和为 ，则 ． 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． ∴ ． 9．【解析】（Ⅰ）当 时， ，因为 ，所以 =3， 当 时