专题08 立体几何-2020年高考数学（理）真题专练

专题08 立体几何 第二十讲 空间向量与立体几何 2019年 1.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 2.（2019北京理16）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ．E为PD的中点，点F在PC上，且 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. 3.（2019浙江19）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是AC，A1B1的中点. （1）证明： ； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 4.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小. 6.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 7.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. 8.（2019浙江19）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是AC，A1B1的中点. （1）证明： ； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 9.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小. 10.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 11.（全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 12.（2019北京理16）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ．E为PD的中点，点F在PC上，且 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. 13.(2019天津理17)如图， 平面 ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. 2015-2018年 1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 ． (1)证明：平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 2．（2018北京）如图，在三棱柱 中， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， ， ． (1)求证： ⊥平面 ； (2)求二面角 的余弦值； (3)证明：直线 与平面 相交． 3．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． (1)证明： EMBED Equation.DSMT4 平面 ； (2)若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． (1)证明：平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ； (2)当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． 5．(2018天津)如图， 且 ， ， 且 ， 且 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ． (1)若 为 的中点， 为 的中