专题三：动点与平行四边形的存在性问题探究-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题三：动点与平行四边形的存在性问题探究 【导例】如图，矩形OABC的位置如图所示，点B的坐标为(8，4)，点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t(0≤t≤4). (1)填空：点A的坐标为____，点C的坐标为_____，点P的坐标为______(用含t的代数式表示). (2)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化?说明理由. 方法点晴 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题． 解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系． 动点问题思路剖析 问题1：动点问题的处理框架是什么？ 答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形） 问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？ 答：①起点、终点、速度：标注到图形中，以示说明 ②时间范围 根据路程、时间和速度的公式s=vt，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间 ③状态转折 状态转折即点的运协发生变化的时刻，常体现在动点的运动方向，运动速度发生了改变 ④目标或结论导向 根据题意作出图形，有序操作（分段作图并求解） 问题3：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？ 答：①路程即线段长，可根据s=vt直接进行表达已走路程或未走路程 ②根据研究几何特征的需求进行表达，即要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息 · 知识点睛 动点问题的解决方法： 1. 研究背景图形并标注； 2. 分析运动过程，并适时分段； 3. 表达线段长，建等式和方程． 【导例答案】（1）点A的坐标为 (8,0)，点C的坐标为 (0,4)， 点P的坐标为（0，4-t）.（用含t的代数式表示） （2） 四边形OPBQ面积不变.理由如下: S四边形OPBQ=S矩形OABC-S△BCP-S△BAQ =32－×8·t－×4·（8－2t) =32－4t－16+4t =16， ∴四边形OPBQ的面积不变. 典型例题 【例】已知，▱ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． (1)如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形． (2)如图1，求AF的长． (3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定； （2）根据勾股定理即可求的长； （3）分情况讨论可知，点在上，点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 基础练习一 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm．点P从A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使PQ＝CD需要_________秒． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒．在运动过程中若四边形QPCP′为菱形，则t的值为 ． 3.如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts． ⑴ 求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？ ⑵ 求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半． 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，过B作BE⊥AD交AD于点E，AB＝13cm，BC＝21cm，AE＝5cm．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒2cm的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t（秒） （1）当t为何值时，四边形PCDQ是平