专题练习：新定义类四边形问题专题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题练习：新定义类四边形问题专题（带答案） 近年来，关于“新定义”类问题是中考考查的热点，所谓的“新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式），或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已所学知识联系起来，正确理解其内容，思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，一般的“新定义”试题大致分三类：(1)定义新规则，新运算型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型。下面我们就初二下四边形这块的新定义类型题进行适当的练习 例1、定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形”． 初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是 ． 问题探究：在完美四边形ABCD中，AD≠BC，∠B=60°，BD⊥DC，BC=6，求该完美四边形的周长与面积． 应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中三条性质． 【解答】解：初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是矩形． 故答案为矩形、 问题探究：∵在完美四边形ABCD中，AD≠BC，∠B=60°，BD⊥DC，BC=6， ∴∠ABC=∠C=60°，∠DBC=∠ABD=30°，∠A=∠ADC=120°， ∴∠A+∠ABC=180°， ∴AD∥BC，四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD， ∴∠ADB=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， 在Rt△BCD中，作DH⊥BC于H． CD=BC=3，DH=， ∴四边形ABCD的周长为3+3+3+6=15，面积=×（3+6）×=． 应用拓展：①“完美四边形”有一组对边平行； ②完美四边形”有一组对边相等； ③完美四边形”的对角线相等； 例2、我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称； （2）已知，如图，完美等邻边四边形ABCD，AD=CD，∠B+∠D=180°，连接对角线AC，BD，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； （3）在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180°，且BD平分∠ABC时， 求证：四边形ABCD是完美等邻边四边形． 解：（1）菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形 （2）性质是∠BAD+∠BCD=180°； （3）证明：作DM⊥BC，DN⊥AB，垂足分别为M，N， ∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB， ∴DM=DN， ∵∠DMB=∠DNB=90°， ∴∠ABC+∠MDN=180°， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ADC=∠MDN， ∴∠ADN=∠MDC， ∵∠DNA=∠DMC， ∴△DMC≌△DNA， ∴AD=CD， ∴四边形ABCD是等邻边四边形； 又∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴等邻边四边形ABCD是完美等邻边四边形． 例3、四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上“点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点． （1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点． （2）如图3，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点． 解：（1）如图2，点P即为所画点 （2）证明：连接DB， 在△DCF与△BCE中，，∴△DCF≌△BCE（AAS）， ∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD．∴∠PDB=∠PBD．∴PD=PB． ∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点． 例4、定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形” （1）在“正方形”、“矩形”、“菱形”中，一定是“完美四边形”的是 ． （2）如图，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA=DC=2 ，请你找出D点，并求线段BD的长度． 解：（1）根据完美四边形的定义，可知“正方形”、“矩形”是完美四边形． 故答案为：“正方形”、“矩形”． （2） 当点D在AC的下方，如图， ∵四边形ABCD是完美四边