专题一：利用三角形的中位线知识来妙解题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题一：利用三角形的中位线知识来妙解题 【导例】如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是__________． 知识点晴 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若DE为△ABC的中位线,则DE∥BC， 几何语言： ∵D、E分别为AB、AC的中点（AD=DB，AE=EC） ∴DE∥BC， 拓展： （1）““平于行第三边的一半”在具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并不一定要把两个结论都写出来； （2）一个三角形有三条中位线 （3）作经过三角形一边的中点且与别一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要的辅助线的作法 【导例答案】10． 典型例题 类型一：判断出三角形的中位线直接进行证明和计算 【例1】．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN； （2）求△ABC的周长． 【分析】（1）证明△ABN≌△ADN即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可。 类型二：见中点取中点构造中位线进行问题的处理 【例2】．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝2，则AC的长等于　 　． 【分析】过D点作DF∥BE，则DF＝BE＝1，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝AF． 基础强化练习一 1.如图，在△ABC中，点D、E 分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝6，BC＝10，则DF的长为 （ ）． A.1 B.2 C.3 D.5 2．如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若的周长为20cm，则的周长为______cm． 3．如图，△ABC周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10．则PQ的长为 ． 4．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 5．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 提高强化练习二 6．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 （ 　）． A．2 B． C. D．1 7．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为 （　　）． A． B．2 C． D．3 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E、F分别是AC、BC上两点，AE＝8，BF＝6，点P、Q、D分别是AF、BE、AB的中点，则PQ的长为 ． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点（含端点），F为CP中点，则∆CEF的周长最小值为______。 10．如图，在四边形ABCD中，，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：． 11．如图，在中，，M是BC中点，于D．求证：． 12．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，连接BE、CE，F、G、M分别为BC、DE、BE中点． （1）求证：MF＝MG； （2）当∠BEC＝135°时，连接EF．探究AE与EF的数量关系． 13．已知，在四边形ABCD中，点E、点F分别为AD、BC的中点，连接EF． （1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB、CD、EF之间的数量关系为　　； （2）如图2，∠B＝90°，