专题二：妙用直角三角形斜边中线为斜边一半来处理问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题二：妙用直角三角形斜边中线为斜边一半来处理问题 【导例】：如图，四边形ABCD中，，取AC中点O，BC中点E，连接OD、OE、DE，，则= 知识点晴 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：若AD为斜边上的中线，则． 相关结论： （1）； （2），为等腰三角形 （3）， 拓展： 在由两个直角三角形组成的图中，M为中点． 相关结论： （1）； （2）． 导例答案：60° 典型例题 类型一：直接依据直角三角形斜边中点连线进行证明 【例1】在 锐角△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为 ． 【分析】先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE，再利用勾股定理可求出FG的长度． 类型二：判断直角三角形进而利用斜边中线进行证明 【例2】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM. （1）求证：EF＝AC. （2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系. 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC； （2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解． 基础强化练习一 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于( ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 2.如图，点E在□ABCD的边CD的延长线上，且AE∥BD，EF⊥BC交BC的延长线于点F，若AB=4, 则DF= . 3.如图放置的两个正方形的边长分别为4和8，点G为CF中点，则AG的长为 ． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF． （1）△BCD的形状为　 　； （2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由； （3）当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长． 提高强化练习二 5.如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为( ). A．4 B．2 C．7 D．8 6.如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（    ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为 ． 8．如图，，中，，，，在上滑动，求的最大值． 9．在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．M、N是AP、BP的中点，分别连接EM、DM和DN、FN，求证：⑴△DEM≌△FDN; ⑵∠PAE=∠PBF． 10．在正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE． （1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明． $$ 专题二：妙用直角三角形斜边中线为斜边一半来处理问题答案 【例1】连接EF，DF， ∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点， ∴在Rt△CEB中，EF=BC=×18=9， 在Rt△BDC中，FD=BC×18=9，，∴FE=FD，即△EFD为等腰三角形， 又∵G是ED的中点， ∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5， ∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一）， 在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2 ． 【例2】（1）∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝AC.（2）∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC，∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM+DM