人教B版高中数学选修2-2 第一章1.1.2导数的概念-教案

1.1 导数 1.1.2 导数的概念 【提出问题】 质点M的运动方程为，求时的瞬时速度。 解：因为 所以 当趋近于0时，趋近于2 所以时的瞬时速度为2 那么，对于一般函数的瞬时变化率怎么定义呢？ 【抽象概括】 设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率 ＝趋近于一个常数l， 那么常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)的瞬时变化率． “当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l”可以用符号“”记作“当Δx0时， l” 通常也记作 【获得新知】 函数在x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0处的导数，通常记作f′(x0)， 即f′(x0)＝ ＝ . 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数． 【概念领悟】 1．对导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0. (2)如果存在，则称f(x)在x＝x0处可导． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝，与概念中的f′(x0)＝意义相同． （4）这里研究的是两个变量比值变化的性质与状态，尽管在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 【经典例题】 例1．已知函数f(x)＝x2＋4x，求f(x)在x＝－1处的导数 解：因为　Δy＝(－1＋Δx)2＋4(－1＋Δx)＋3＝Δx2＋2Δx. 所以 所以 ＝ (Δx＋2)＝2. 所以f(x)在x＝－1处的导数为2 【规律技巧】求函数y＝在x＝x0处的导数的步骤为： 第一步：求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：取极限，得到导数f′(x0)＝ . 例2.求函数f(x)＝x2＋的导数． 解：因为 所以 所以 所以函数的导函数