人教B版高中数学选修2-2 第一章1.1.2瞬时速度-教案

1.1 导数 1.1.2 瞬时速度 【提出问题】 在物理学中，我们知道物体作匀速直线运动，速度是路程与时间之比：。 而自由落体、竖直向上发射火箭、一段平直轨道上行驶的高铁列车、一段平直高速路上行驶的汽车都是变速直线运动，这类运动路程随时间变化，速度也随时间变化。 问题1：物体作变速直线运动时，速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 【抽象概括】 设物体运动路程与时间的关系是（图一）， 图一 问题2：在区间，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 由上节课知识可知，从到这段时间内，物体运动的平均速度是 所以，平均速度就是函数在区间的平均变化率 问题3：在某一时刻，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 联想二分法，计算值的逼近法，上节课的分割法，时刻我们也采用分割逼近的方法。 看一个实例，我们来研究怎样实现逼近。跳台跳水运动员在时刻距离水面的高度函数 求运动员在时竖直向上的速度？ 我们先求运动员在这段时间内的平均速度为： 用同样的方法，我们运用计算器得到下列平均速度表： 时间区间/s 时间间隔/s 平均速度/ 由此表可以看出，当时间间隔越来越小时，平均速度趋于常数，这个常数就是该运动员在时的速度，我们称为在时的瞬时速度。 【解决问题】 一般地，对任一时刻，也可以计算出瞬时速度： 当趋近于0时，上式趋近于。 所以，对任一时刻，运动员的瞬时速度是（）。 【获得新知】 设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋近于一个常数， 这个常数称为t0时刻的瞬时速度． 【经典例题】 例1　物体的位移为s(t)＝t2＋2t，求物体在2s时的瞬时速度． 解：因为 所以 所以 当Δt趋近于0时，趋近于2 ∴物体在2s时的瞬时速度2. 【规律技巧】求瞬时速度的步骤： 第一步：求； 第二步：求； 第三步：当Δt趋近于0时，求趋近值。 例2．物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝at2 (位移单位：m，时间单位：s)．若物体在t＝3s时的瞬时速度为9 m/s，求常数a的值. 解析：因为Δs＝s(3＋Δt)－s(3) ＝a(3＋Δt)2－a·32 ＝6aΔt＋a(Δt)2， 所以＝6a＋aΔt， 即当t＝3时，瞬时速度为9，即6a＝9. 所以a＝. 【规律技巧】求参数的值一般通过列方程解决。 例3