1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．1　变化率与导数 1．1.1　变化率问题 1．1.2　导数的概念 1．函数的变化率 定义 几何意义和物理意义 平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：. ①平均速度； ②曲线割线的斜率． 瞬时变化率 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 lim ＝lim ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率. 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim_ ＝lim_． 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40　　　　　　　 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析：选B.∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 2．f(x)在x＝x0处可导，则lim (　　) A．与x0、h有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 解析：选B.lim ＝f′(x0)，因此只与x0有关． 3．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为(　　) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 解析：选C.＝ ＝＝2＋Δx. 4．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为________． 解析：＝＝ ＝ ＝－3Δt－6. 答案：－3Δt－6 5．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为________． 解析：据题意，在t＝2时的瞬时速度即为s′(2)， ∴s′(2)＝lim ＝lim ＝lim (8＋2Δt) ＝8. 答案：8 类型一　求平均变化率 例1,►已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率． 【解】　Δx＝2－1＝1，[来源:学+科+网Z+X+X+K] Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)， ＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0. ∴＝0， ∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0. 【点评】　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 1．求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率． 解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为： ＝＝＝＝4x0＋2Δx 当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7. 类型二　瞬时变化率 例2,►若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s) s＝. 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 【解】　(1)∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，[来源:学*科*网Z*X*X*K] 物体在t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为 ＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝ ＝＝3Δt－18， ∴物体在t＝0处的瞬时变化率为 lim ＝lim (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为 ＝ ＝＝3Δt－12. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 lim ＝lim (3Δt－12)＝－12. 即物体在t＝1时的速度为－12 m/s. 【点评】　位移的平均变化率的极限就是瞬时速度，求导数的方法是“一差”、“二商”、“三极限”． 2．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s.求子弹射出枪口时的瞬时速度． 解：设子弹在枪筒中的运动方程为s＝s(t)＝at2， 因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， 所以＝at0＋aΔt. 所以lim ＝at0. 由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， 所以at0＝8×102＝800(m/s)， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 类型三　利用定义求函数在某一点的导数 例3,►根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求