1.1.3 导数的几何意义（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．1.3　导数的几何意义 1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示， AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是 ＝． 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝lim_. (2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim_． 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(　　) A．在x＝x0处的斜率 B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率[来源:学科网ZXXK] 解析：选C.根据f′(x0)的几何意义知C正确． 2．在曲线y＝x2上的哪一点处的切线倾斜角为(　　) A．(0，0)　　　　　　　 B．(2，4) C. D． 解析：选D.∵y＝x2， ∴y′＝lim ＝lim ＝2x. 令2x＝tan ＝1，∴x＝，y＝. ∴切点坐标为. 3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 解析：选B.∵y＝x2－2， ∴y′＝lim ＝lim ＝lim (x＋Δx)＝x. ∴y′|x＝1＝1. ∴过点P的切线的斜率为1， 则切线的倾斜角为45°. 4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，但只有________是它的切线，而________不是它的切线． 解析：根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2＝x的一条切线，x轴不是切线． 答案：y轴　x轴 5．已知f(x)＝，则f′(x)＝________；f′(1)＝________． 解析：由导数定义知 f′(x)＝lim ＝lim ＝lim ＝－. 令x＝1，则f′(1)＝－|x＝1＝－1. 答案：－　－1[来源:学科网ZXXK] 类型一　求曲线的切线方程 例1,►求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程． 【解】　易证得点P(1，2)在曲线上， 由y＝x3＋2x－1得 Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1 ＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3. ＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2. 当Δx无限趋近于0时， 3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2. 即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5. 故点P处的切线斜率为k＝5. 所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)， 即5x－y－3＝0. 【点评】　1.解决这类题，先求出函数y＝f(x)在x0处的导数即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程． 2．导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该x0处的导数不是过该点切线的斜率． 1．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 解：(1)由得x2＋4＝10＋x，即 x2－x－6＝0， ∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)和(3，13)． (2)∵y＝x2＋4， ∴y′＝ ＝ ＝ (Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6， 即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0； 在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0. 类型二　求切点坐标 例2,►拋物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程． 【解】　设P点坐标为(x0，y0)， y′＝lim ＝lim ＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x. ∴y′|x＝x0＝2x0， 又由切线与直线4x－y＋2＝0平行， ∴2x0＝4，∴x0＝2， ∵P(2，y0)在拋物线y＝x2上， ∴y0＝4， ∴点P的坐标为(2，4)， ∴切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 【点评】　解答此类问题的步骤为：