1.3.1 函数的单调性与导数（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．3　导数在研究函数中的应用 1．3.1　函数的单调性与导数 1．函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增． 如果f′(x)<0,_那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 如果f′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数． 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增或者单调递减，那么区间(a，b)就叫做函数y＝f(x)的单调区间． 1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 解析：选A.由导数的几何意义知导数递增说明函数切线斜率随x的增大而变大．故选A. 2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　) A．(－∞，－1]，[0，1]　 B．[－1，0]，[1，＋∞) C．[－1，1] D．(－∞，－1)，[1，＋∞) 解析：选A.y′＝4x3－4x，令y′<0即4x3－4x<0，解得x<－1或0<x<1.又∵y＝x4－2x2＋5在R上连续， ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－1]和[0，1]． 3．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则“y＝f(x)是R上的单调增函数”是“f′(x)＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.y＝f(x)是单调增函数，但是f′(x)可能等于0，即可能f′(x)＝0，例如y＝x3；反过来，若f′(x)＞0，则y＝f(x)一定是单调增函数． 4．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则a的取值范围为________． 解析：∵f′(x)＝3ax2－1，且f(x)在R上为减函数． 当a＝0时，f′(x)＝－1＜0恒成立； 当a≠0时，则得a＜0. ∴a的取值范围是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． 解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2. 答案：(2，＋∞) 类型一　判断函数的单调性 例1,►求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 【证明】　由f(x)＝ex－x－1，得 f′(x)＝ex－1.[来源:Zxxk.Com] 当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0， 即f′(x)>0， ∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数． 当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，[来源:学+科+网Z+X+X+K] 即f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数． 【点评】　判断函数单调性的方法有两种： (1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性； (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论． 1．讨论函数f(x)＝ax－a－x(a>0，a＝/ 1)的单调性． 解：函数的定义域为R. f′(x)＝axln a－a－x·ln a·(－x)′ ＝(ax＋a－x)ln a. 当a>1时，ln a>0，ax＋a－x>0， ∴f′(x)>0， ∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 当0<a<1时，ln a<0，ax＋a－x>0， ∴f′(x)<0. ∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数． 类型二　求函数的单调区间 例2,►求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x＋. 【解】　(1)f′(x)＝1－3x2，令1－3x2＞0， 得－＜x＜， 因此，函数f(x)的单调增区间为. 令1－3x2＜0，解得x＜－，或x＞. 因此，函数f(x)的单调减区间为，. (2)f′(x)＝1－. 当a≤0时，f′(x)＞0恒成立． 又定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因此，函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)， 当a＞0时，f′(x)＝1－＝＝. 由f′(x)＞0，得x＜－，或x＞； 由f′(x)＜0，得－＜x＜，且x≠0. 因此，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调减区间为(－，0)和(0，)． 【点评】　求函数单调区间时需注意： 1．步骤： 2．含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论． 2．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间． 解：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0. 由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx. 令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.