1.6 微积分基本定理（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．6　微积分基本定理 1．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成F(x)|，即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)． 2,.定积分的取值 (1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积； (2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； (3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积． 图(1)中S＝f(x)dx， 图(2)中S＝－f(x)dx， 图(3)中S＝f(x)dx－f(x)dx. 1．自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1，2]时，物体下落的距离为(　　) A.g　　　　　　　　 B．g[来源:学科网] C.g D．2g 解析：选C.h＝gtdt＝gt2|＝g×22－g×12＝g.[来源:学科网] 2．下列积分值等于1的是(　　) A.xdx B．(x＋1)dx C.1dx D．dx 解析：选C.1dx＝x|＝1. 3．积分∫0cos xdx的值等于(　　) A. B． C．1 D．0 解析：选B.∫0cos xdx＝sin x|0＝sin －sin 0＝. 4．若(2x＋k)dx＝2，则k＝________． 解析：(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2. ∴k＝1. 答案：1 5．设f(x)＝则f(x)dx等于________． 解析：f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝0＋1 ＝. 答案： 类型一　求简单的定积分 例1,►计算下列定积分： (1)(3x2－2x＋1)dx； (2)dx. 【解】　(1)(3x2－2x＋1)dx ＝3x2dx－2xdx＋1dx ＝x3|－x2|＋x| ＝28－8＋4＝24. (2)dx ＝exdx－dx ＝ex|－2ln x| ＝e2－e－2ln 2. 【点评】　(1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，要正确运用求导法则求F(x)，使得F′(x)＝f(x)．另外，要注意利用定积分的性质，这样会给求F(x)带来方便． (2)当F(x)不易求时，可把f(x)进行适当变形，然后求解． 1．(x－1)dx＝__________． 解析：(x－1)dx＝＝×22－2＝0. 答案：0 类型二　求较复杂函数的定积分 例2,►求下列定积分： (1)∫0sin2dx； (2)(1＋)dx. 【解】　(1)原式＝∫0(1－cos x)dx ＝∫0(1－cos x)dx ＝∫01dx－∫0cos xdx ＝|0－|0 ＝. (2)原式＝(＋x)dx ＝xdx＋xdx[来源:Z.xx.k.Com] ＝x|＋x2| ＝. 【点评】　求较复杂函数的定积分的方法． (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数．正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 2．求下列定积分： (1)(5x－1)(2－x2)dx； (2)∫0(sin x－cos 2x)dx. 解：(1)∵(5x－1)(2－x2)＝－5x3＋x2＋10x－2.而′＝－5x3＋x2＋10x－2， ∴(5x－1)(2－x2)dx ＝| ＝－0＝－. (2)∵′＝sin x－cos 2x ∴∫0(sin x－cos 2x)dx＝|0 ＝－(－1)＝. 类型三　分段函数的积分 例3,►(1)求函数f(x)＝在区间[0，3]上的积分； (2)求(|2x＋3|＋|3－2x|)dx. 【解】　(1)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋＝x3dx＋dx＋2xdx ＝x4|＋x|＋| ＝＋－＋－ ＝－＋＋. (2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝ ∴(|2x＋3|＋|3－2x|)dx ＝∫－－3(－4x)dx＋∫－6dx＋∫34xdx ＝－2x2|－－3＋6x|－＋2x2|3＝45. 【点评】　(1)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行． (2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 3．求定积分|x＋a|dx. 解：(1)当－a≤－4即a≥4时， 原式＝(x＋a)dx＝|＝7a－. (2)当－4<－a<3即－3<a<4时， 原式＝[－(x＋a)]dx＋(x＋a)dx ＝|＋(＋ax)| ＝－4a＋8＋ ＝a2－a＋. (3)