山东省青岛市胶州市2020届高三上学期期末考试数学试题

2019-2020学年度第一学期期末学业水平检测高三数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 8：D C A B A D C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 9. AD; 10. ACD; 11. AD; 12. BCD; 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。 13. ； 14. ； 15. （1） ；（2） ； 16. ； 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（10分） 解：（1）由 和 相加得： 所以 ，因此数列 是以 为公差的等差数列 2分 又由 和 相减得： ，所以 ， 又 ，因此数列 是以 为公比的等比数列 4分 （2）由（1）知： 两式相加得： 6分 所以 8分 因为 ，所以 9分 又因为 ， 所以使得 的 的取值范围为 10分 18.（12分） 解：（1）因为 ， 所以 ，即 ， 1分 由正弦定理得 ， 2分 由于 为 的内角，所以 ， 3分 所以 ，即 4分 由于 为 的内角，∴ ，所以 5分 又因为 ，所以 ， ； 6分 （2）在 中由余弦定理知： 9分 所以 ，等号当仅当 时等号成立 11分 此时 12分 19.（12分） 解: （1）因为平面 平面 ， 平面 平面 平面 平面 所以 2分 因为 ，所以四边形 为平行四边形 所以 ，因为 所以 ， 为 的中点 3分 同理 为 的中点，所以 因为 ，所以 4分 又 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ， 又 ，所以 . 5分 又 平面 ， ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 6分 （2）由（1）知， ，因为 ， ， ，所以 分别以 所在的直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 7分 设平面 的一个法向量为 ，因为 则 ，取 ，得 9分 设平面 的一个法向量为 ，因为 则 ，取 ，得 11分 所以 ，则二面角 的大小为 12分 20.（12分） 解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 ， ， 则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则 ， ， 4分 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； （只要言之有理即给 分） 6分 （2）因为 ，根据表中对应值， 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 ， 7分 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 列联表如下： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 女 总计 计算 ，且 ， 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 ， 由 ，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大． 12分 21.（12分） 解:（1）由题意知， ， 1分 当 时， ， 所以 在区间 上单调递减 2分 当 时，令 ，因为 所以 在区间 上单调递增，因此 4分 故当 时， ， 所以 在区间 上单调递增 5分 因此当 时， 6分 所以 （2）（ⅰ）由（1）知， 在区间 上单调递增， 因为 故 7分 所以 8分 因此当 时， ，又因为 ， 所以 9分 （ⅱ）函数 ，则 令 ，则 10分 所以 在区间 上单调递增； 因此 11分 所以 在区间 上单调递减，所以 因此 所以 ， 12分 22.（12分） 解:（1）设椭圆 焦距为 ，因为椭圆 的短轴长和焦距相等， 所以 ， ① 1分 因为 ，所以点 在椭圆 上 将 代入 得： ② 2分 由①②解得： 3分 所以椭圆 的方程为 4分 （2）设 ， ，由题意 ，则可设直线 的方程为： ， 由 得： ， 所以 ， 5分 又因为 ，所以 ， 所以 ，解得： ， 6分 所以 7分 所以 ，解得： 所以直线 的方程为： 或 8分 （3）设 ， ，由题意直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ， 由 得： ，则 9分 因为直线 与曲线 相切于点 ，所以 ， 所以 ，整理得 10分 令 ，所以 因为 在 上单调递增；且 所以，存在 使得 11分 因此 在 上单调递减，在 上单调递增；所以 又因为 ，所以 ， 又因为 ， 因此 除零点 外，在 上还有一个零点 所以，符合题意的点 有两个，其中一个的坐标为 12分 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� �