北师大版高中数学选修4-4 1.1 平面直角坐标系_学案1

平面直角坐标系 【学习目标】 1．理解平面直角坐标系的作用。 2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 3．了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示。 【学习过程】 1．平面直角坐标系与点的坐标 在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应。即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的。 2．平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，由此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系。 在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上。 那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线。这样，我们就可以通过建立适当的平面直角坐标系，应用方程来表示许多常见的曲线，如直线的方程、圆的方程、椭圆的方程等。 3．平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响。 思考探究 1．△ABC的三个顶点是A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x＝0吗？ 提示：　因为中线CO是一条线段，而并非一条直线，所以其方程为x＝0(0≤y≤3)，而非x＝0. 2．如何建立适当的平面直角坐标系？ 提示：　①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上； ④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程。 3．如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？ 提示：　x2＋y2＝4的图形变为椭圆：＋y2＝1． 伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状。 课堂互动探究 例1．由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航。某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米。某时刻甲舰