主观题专练 数列（4）-2020高考文科数学【试吧大考卷】二轮复习专项分层特训卷

数列(4) 1．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解析：(1)解：设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)解：由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 2．[2019·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中，a1＝1，·an. ，设bn＝＝ (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求{an}的前n项积Tn. 解析：(1)因为＝4，b1＝2a1＝2， ·＝·＝＝ 所以数列{bn}是首项为2，公比为4的等比数列． (2)由(1)知bn＝·22n－1. ·an＝2·4n－1，则an＝ 从而Tn＝·21＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 3．[2019·辽宁鞍山月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＝4,2Sn＋1－an＋1＝2Sn＋3an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝. ≤Tn＜，数列{bn}的前n项和为Tn，证明： 解析：(1)∵2Sn＋1－an＋1＝2Sn＋3an，∴2an＋1－an＋1＝3an，[来源:学*科*网] ∴an＋1＝3an(n∈N*)，∵a1＋a2＝4，∴a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)由(1)知Sn＝. ∵bn＝， －＝，∴bn＝ ∴Tn＝. －＝＋…＋＋ ∵n∈N*，所以－， ∈ ∴.≤Tn<，即<－≤ 4．[2019·湖南衡阳联考]已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝an＋bn(n∈N*)． bn，2bn＋1＝，2an＋1＝an＋ (1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}均是等比数列；[来源:学科网ZXXK] (2)记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝λ＋μ， 求λ－μ的值． 解析：(1)依题意得两式相加， 得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)，∴{an＋bn}为等比数列； 两式相减，得an＋1－bn＋1＝(an－bn)，∴{an－bn}为等比数列． (2)∵a1＝1，b1＝. ，a1－b1＝，∴a1＋b1＝ 由(1)可得an＋bn＝n－1　①， × an－bn＝n－1　②. × ①＋②，得 an＝n， n＋ ∴Sn＝n. －3××－＝＋3××＝＋ 又Sn＝λ＋μ.，μ＝－3，∴λ－μ＝，∴λ＝＝λ＋μ 5．[2019·河南洛阳孟津二中月考]在数列{an}中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，a1＝1. (1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{3an－1}的前n项和Sn. 解析：(1)由已知得an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＋1＝bn＋1， ＝＝ ∴bn＋1－bn＝1，又a1＝1，∴b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，bn＝＝n，∴an＝n·2n－1,3an－1＝3n·2n－1－1. ∴Sn＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n－1)×2n－2＋3n×2n－1－n， 两边同时乘以2，得2Sn＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n－1)×2n－1＋3n×2n－2n， 两式相减，得－Sn＝3×(1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n)＋n＝3×(2n－1－n×2n)＋n＝3(1－n)2n－3＋n， ∴Sn＝3(n－1)2n＋3－n. 6．[2019·河北九校第二次联考]已知数列{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)由题意知2Sn＝an＋＝1，(※) ，即2Snan－a 当n＝1时，由(※)式可得S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入(※)式，得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1， 整理得S＝1. －S 所以{S＝1＋(n－1)×1＝n. }是首项为1，公差为1的等差数列，所以S 因为数列{an}的各项都为正数，所以Sn＝.[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:Z.xx.k.Com] 由此可得an＝Sn－Sn－1＝(n≥2)， － 又a1＝S1＝1，所以an＝. － (2)由(1)知bn＝)． ＋＝(－1)n(＝ 当n为奇数时， Tn＝－1＋(； )＝－＋)－(＋)＋…＋(＋＋1)－( 当n为偶数时， Tn＝－1＋(. )＝＋)＋(＋)＋…－(＋＋1)－( 所以{bn}的前n项和Tn＝(－1)n.