人教B版（2019）高中数学必修第三册教学课件：第七章 7.1 任意角的概念与弧度制 (2份打包)

第七章 三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 学习目标 1.理解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角. 3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算. 重点：将0°~360°的角的概念推广到任意角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示. 一、角的概念的推广 同时我们还知道，角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 1.小学和初中所学过的角 在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边. 我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（360°）的大小. 知识梳理 * 2.角的概念的推广 （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？ 思考：当摩天轮在持续不断地转动时， 角的概念的推广： 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边. 射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向. 习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角； 按照顺时针方向旋转而成的角称为负角； 当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角. 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角. 提示： “旋转”是用运动的观点来定义角，它使得角的范围不再局限于0°~360°，研究问题变得更加方便. 旋转三要素：①未作任何旋转时的位置， ②旋转方向， ③旋转的绝对量，即旋转度数. 值得注意的是，在角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的. 因此，角的概念经过推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的. 由此，我们把角的概念推广到了任意角. 3.角的作图方法 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量. 图（1） 图（2） 如图（1）（2）表示的两个转角， 逆时针方向旋转 形成正角. 顺时针方向旋转 形成负角. 注意： 1.由图确定任意角的度数时，首先看旋转方向，以确定正负；其次看旋转圈数，以确定数量. 2.画图表示角时，因为箭头的方向代表角的正负，所以箭头 不能丢掉. 3.始边与终边重合的角不一定是零角，只有终边没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角. 4.角的加减运算的一个几何意义 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义. 例如，对于60°+90°来说，如图（1）所示， 射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°＝150°. 图（1） 类似地，如图（2）所示， 射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°-30°＝60°. 图（2） 二、象限角 1.象限角 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时， 角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角. 如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 提示： 1.“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合”是研究象限角的前提，也是将角置于坐标系进行研究的最简形式. 2.当角的终边在坐标轴上时，通常称此类角为轴线角. 3.在平面直角坐标系内讨论角的好处：在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在平面直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律. 示例： 图（1） 图（2） 二 四 对于集合S＝{ β|β＝α + k·360°，k∈Z }的理解应注意四点： （1）α是任意角. （4）若顶点和始边相同，则相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. 知识拓展 1.各象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第