【新教材精创】6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积 导学案（1）-人教A版高中数学必修第二册
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积
1..理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；
2.会求平面向量的数量积、投影向量；
3.熟记平面向量数量积的性质；
4.能运用数量积的性质解决问题；
1..教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；
2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。
1．向量的夹角的定义：
已知两个非零向量
，O是平面上的任意一点，作
则
叫做向量的 。
显然，当
时， ；当
时， 。
2.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a与b的 (或 )，记作 ，即 ．
规定零向量与任一向量的数量积为 ．
- 投影向量的定义：
如图(1)设
是两个零向量,
,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
，我们称上述变换为向量
在向量
投影 (project).,叫做向量在向量上的 。
如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作
，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则
就是向量在向 量上的 。
4.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔ ．
(2)当a与b同向时，a·b＝ ；
当a与b反向时，a·b＝ ．
(3)a·a＝ 或|a|＝
＝ .
(4)|a·b|≤ .
一、探索新知
思考1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
1.向量的夹角的定义：
已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则
叫做向量的 。
显然，当时， ；当时， 。
如果的夹角是
，我们就说垂直，记作
。
思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
2.数量积的定义：
已知两个非零向量，它们的夹角为
，我们把数量
叫做向量的数量积（或内积），记作
，即
。
规定：零向量与任一向量的数量积为 。
说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（2）中间的“
”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“
”；
（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。
思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
结论：数量积符号由
的符号所决定。
例1.已知
的夹角
，求。
- 投影向量的定义：
如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的 。
如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向 量上的 。
探究1：如图，设与方向相同的单位向量为
，与的夹角为，那么与
之间有怎样的关系？