沪教版（上海）九年级第一学期 教案 26.1二次函数的概念

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习

问1：我们学过了哪些函数？

问2：一次函数的表达式是什么？

问3：表达式中的自变量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？

二、引入新课

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.

例题1 正方形的边长是x(cm)，面积y()与边长x之间的函数关系如何表示？

例题2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

答1：正比例函数，反比例函数，一次函数；

答2：y=kx+b，其中k≠0

答3：自变量是x,k=0是常值函数.

答1：解：函数关系式是

y=(x＞0).

答2：

解：函数关系式是，

即.

 复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．

师: 观察这两个函数，找出他们的相同点。

三、学习新知

1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．

　　对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：

（1）强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x、y来表示. 　　

（2）在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．

（３）为什么二次函数定义中要求a≠0？

（４）b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次

由这两例，引导启发学生归纳出

(1)函数解析式的一边均为整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征)．

(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)． 

(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)

若b=0，则y=ax2＋c；

　　若c=0，则y=ax2＋bx；

　　若b=c=0，则y=ax2．

本处设计了两个问题，学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系，也不难列出函数解析式.通过归纳解析式特点，自然引出二次函数的定义.

函数的一般形式.

2、概念巩固

（1）下列函数中哪些是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．哪些不是二次函数？不是二次函数的说出为什么？

；

y=x(x-1)；

)y=3x(2-x)＋3x2；

；

  )y=x4＋2x2＋1；

  ；

.

（2）已知函数，

当m为何值时，这个函数是二次函数？当m为何值时，这个函数是一次函数？

问1：是二次函数的条件是什么？

问2 ：是一次函数的条件是什么？

（1）

①是二次函数a=1、b=0、c= -1

②是二次函数a=1、b=-2、c= -1

③是二次函数a=1、b=-1、c= 0

④不是二次函数，a=0

⑤不是二次函数，等式一边是分式

⑥不是二次函数，最高次4次

⑦是二次函数a=、b=、c= 0

⑧不是二次函数，等式一边根式

（2）

答1：a≠0

解：∵是二次函数∴

∴m≠±3时，是二次函数；

通过练习，巩固加深对二次函数概念的理解.