第25-26期（人教A选修2-2）-《学习报》2019-2020学年高中数学同步系列

高 中 练·周周清 数 学 主 编 王 静 终审 李双孝 山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/（F） 责 编 陈记梅 照排 董俊英 笠广告经营许可证号 / 员源园园园园源园园园园源源 笠本报向全国各省（市）级教研员赠报，欢迎来电咨询 笠随时征订热线 / 0351-3239622 邮政订户服务热线 / 0351-3239623笠印刷/河南鑫泽印刷有限责任公司 地址/郑州市马寨工业园先锋路 3号 笠本报四开四版 笠订阅/全国各地邮局（所） 单价 1.25元 学期定价30.00元 人教粤（理科） 选修 2原2 学习报·高中数学人教 A（理科） 问题1：与曲线只有一个交点的直线就是曲线的切线吗？ 过去在定义圆的切线时，我们把与圆只有一个交点的 直线叫作圆的切线.那是不是对任何曲线C都可以用“与曲 线C只有一个交点”来定义曲线C的切线呢？当然不能！比如 抛物线y 2 =x与x轴、y轴都只有一个交点，但只有y轴是它的 切线，而x轴显然不是. 既然与曲线只有一个交点的直线不一定是曲线的切 线，那肯定会有同学认为与曲线有两个、三个甚至更多交 点的直线一定不是曲线的切线！在回答这个问题前，我们 还是先来看看下面这个图吧. 从图中不难发现，直线l1与 曲线只有一个交点M，但l1显然 不是曲线的切线.而直线l2虽然 与曲线有两个交点N，P，但l2却 是曲线上N点处的切线. 同学们可以想象，当切点位置变化时，曲线的切线还 可以与曲线有更多的交点，也就是说，一条直线是不是曲 线的切线与它们的交点个数是无关的. 问题2：怎么求曲线的切线方程呢？ 要求曲线的切线方程，必须知道切点坐标和切线的斜 率.如果切点坐标已知，那只要根据导数的几何意义求出切 线的斜率即可. 例1 求曲线y=2x 2 垣1上点（1，3）处的切线方程. 解：因为y忆=4x，则在点（1，3）处其切线的斜率k=4，所以 曲线y=2x 2 垣1上点（1，3）处的切线方程为y原3=4（x原1），即4x原 y原1=0. 例2 已知曲线y= 13 x 2 垣3，求过点A（1，2）的切线方程. 解：因为点A（1，2）不是切点，所以不能直接求导得到 切线的斜率.我们只能先设出切点坐标，利用已知条件求出 切点坐标后才能得到切线方程. 设切点为P（x0，y0），因为y忆= 2 3 x ，即在点P（x0，y0）处其 切线的斜率k= 23 x0 ，则切线方程为y原2= 23 x0 ·（x原1）. 又点P（x0，y0）既在曲线上又在切线上， 所以 y0= 1 3 x 2 0垣3， y0原2= 2 3 x0 （x0原1）， 扇 墒 设 设 设 设 设 缮设 设 设 设 设 解得 x0=3， y0=6，嗓 或 x0=原1， y0= 10 3 . 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 故过点A（1，2）的切线方程为y=2x，或y=原 23 x垣 8 3 . 问题3：导数不存在，切线也不存在吗？ 函数f（x）在x=x0处的导数不存在，只能说明过点（x0， f（x0））的直线斜率不存在，此时直线与x轴垂直，所以在点 （x0，f（x0））处的切线可能存在.若在点（x0，f（x0））处其切线l 的倾斜角为 仔 2 ，此时切线平行于y轴，不能用上述方法求切 线方程，但可根据切线的定义直接得切线方程为x=x0. 圆园20年 1月 1日 第 25期 2020年 1月 1日 25 1601 我们知道，导数有着丰富的物理背景.在物理 学的研究中，一些常见的物理运动，可以用导数的 方法来探究，比如物理运动的瞬时速度、瞬时加速 度等. 一般地，设物体的运动方程为s=s（t），则物体从 时刻t到t+驻t的平均速度为增軃=驻s 驻t = s（t+驻t）原s（t） 驻t .当驻t 很小时这个平均速度就接近时刻t的速度，即当驻t寅0 时，lim 驻t寅0 增軃=lim 驻t寅0 s（t+驻t）原s（t） 驻t 就是物体在t时刻的瞬时 速度（简称速度）.由导数的定义，瞬时速度就是位移 函数s=s（t）对时间t的导数，即v=s忆（t）.同理，速度关 于时间t的函数v=v（t）对时间t的导数，就是瞬时加 速度（简称加速度），即a=v忆（t），它是对位移函数s= s（t）两次求导后的结果. 下面就用导数方法去探究三种常见的物理 运动. 一、普通直线运动 例1 物体的运动方程是s= 1 3 t 3 +t原1（s的单位： m，t的单位：s），求物体在t=3时的速度与加速度. 解析：v=s忆（t）=lim 驻t寅0 驻s 驻t =lim 驻t寅0 s（t+驻t）原s（t） 驻t =lim 驻t寅0 1 3 （t+驻t） 3 +（t+驻t）原1原（ 1 3 t 3 +t-1）