专题08 平面向量（考点解读）-2020年高考数学（理）二轮复习精品考点学与练

专题8 平面向量 高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现． 预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力． 1．向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量． (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 3．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 4．两向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角． 5．向量的坐标表示及运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线． 7．平面向量的数量积 设θ为a与b的夹角． (1)定义：a·b＝|a||b|cosθ. (2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影． 8．数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2； (3)|a·b|≤|a|·|b|； (4)cosθ＝. 9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝. 【误区警示】 1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a在b方向上的投影为，而不是. 4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0. 高频考点一　平面向量的概念及运算 例1．【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解． (2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A. B. C. D. 高频考点二　平面向量数量积的计算与应用 例2．【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则·= A．−3 B．−2 C．2 D．3 【举一反三】（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【变式探究】已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单． (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________. 高频考点三 平面向量的综合应用 例3、【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 【举一反三】（2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________． 【变式探究】【2017江苏，16】 已知向量