专题09 等差数列、等比数列（考点解读）-2020年高考数学（理）二轮复习精品考点学与练

专题9 等差数列、等比数列 高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点． 备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识． 1．等差数列 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)； (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋； (4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)； ②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．等比数列 (1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)； (2)通项公式：an＝a1qn－1； (3)前n项和公式：Sn＝ (4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)； ②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)． 3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法). 【误区警示】 1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混． 3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形． 4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0. 高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算 例1、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　) A．－3　　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．3 (2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________． 【变式探究】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　) A. B. C．10 D．12 (2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　) A. B. C．1 D．2 高频考点二、等差数列、等比数列的判断与证明 例2、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，. （I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （II）求{an}和{bn}的通项公式. 【举一反三】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. 【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝. (1)求证：是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 高频考点三、等差数列、等比数列的综合应用 例3、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中． （i）求数列的通项公式； （ii）求． 【变式探究】已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和． 【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立． (1)求数列{an}的通项公式． (2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？ 1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 3．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则 A．当 B．当 C．当 D．当 4．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 5．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________. 6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________． 7．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____. 8．【2019年高考