专题10 数列求和及其应用（考点解读）-2020年高考数学（理）二轮复习精品考点学与练

专题10 数列求和及其应用 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式。预测高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注。 1．数列求和的方法技巧 (1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和。 (2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。 (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。 (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和。 (5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并。 2．数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列的综合。 (2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合。 (3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题。 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决。 【误区警示】 1．应用错位相减法求和时，注意项的对应。 2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和。 高频考点一 数列求和 例1、（2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求；（ii）证明. 【变式探究】【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等差数列是“数列”; （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列. 【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式an； (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和． 【举一反三】若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn. 【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 高频考点二、数列和函数、不等式的交汇 例4、（2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求的值； （2）求的表达式(用n表示) 【变式探究】已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式； (2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>. 【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn. 高频考点三 数列的应用与综合问题 例3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2. (1)求数列{an}的前n项和Sn； (2)设bn＝log2(S3n＋2)，数列的前n项和为Tn，求证≤4Tn<. 【举一反三】已知等差数列{an}满足a6－a3＝6，且a3－1是a2－1，a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn<成立的最大正整数n的值． 【变式探究】在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝4an－3.令bn＝log4(an－1)，n∈N*. (1)求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式； (2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式(－1)nkbn<2Sn＋n＋4对所有的正奇数n都成立，求实数k的取值范围． 1.【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数