北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试数学试题 (PDF版)

高三数学 第 1 页 共 8 页 北京市第十三中学 2019～2020 学年度 高三年级数学 2 月开学测试参考答案 2020 年 2 月 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B C A A D C C C 二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．） 11. 2 12. 4 5 13. y x 14. 16,16 15. 1 ①② （说明：14，15 题第一空 2 分，第二空 3 分，其中 15 题第二空少选得 1 分，选错得 0 分） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 16．解：（1）由已知得， 1 1B C 平面 1 1ABB A ，BE 平面 1 1ABB A ， 故 1 1B C  BE．-----------3分 又 1BE EC ，所以BE 平面 1 1EB C ．----------6分 （2）由（1）知 1 90BEB  ．由题设知 Rt ABE△ ≌ 1 1Rt A B E△ ， 所以 45AEB  ， 故 AE AB ， 1 2AA AB ．-----------7分 以 D为坐标原点， DA的方向为x轴正方向， | |DA 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， 1C （0，1，2），E（1，0，1）， (1,0,0)CB  ， (1, 1,1)CE   ， 1 (0,0,2)CC  ．-----------8分 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 0, 0, CB CE       n n 即 0, 0, x x y z      所以可取n= (0, 1, 1)  . -----------10分 高三数学 第 2 页 共 8 页 设平面 1ECC 的法向量为m=（x，y，z），则 1 0, 0, CC CE       m m 即 2 0, 0. z x y z      所以可取m=（1，1，0）． -----------12分 于是 1 cos , | || | 2      n m n m n m ． 所以，二面角 1B EC C  的正弦值为 3 2 ． -----------14 分 17、（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ） ABC△ 同时满足①，③，④． …………3 分 理由如下： 若 ABC△ 同时满足①，②，则 因为 2 1 cos 3 2 B     ，且 (0,π)B ， 所以 2 π 3 B  ．这与 πA B  ，矛盾． 所以 ABC△ 不能同时满足①，②． …………6 分 所以 ABC△ 只能同时满足③，④． …………7 分 因为 a b ， 所以 A B ，故 ABC△ 不满足②． …………9 分 故 ABC△ 满足①，③，④． （Ⅱ）因为 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， …………10分 所以 2 2 2 17 3 2 3 2 c c      ． 解得 8c  或 5c   （舍）． …………12 分 所以△ ABC 的面积 1 sin 6 3 2 S bc A  ． …………14 分 18. （本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36，众数为 33. ---------------------2 分 高三数学 第 3 页 共 8 页 （Ⅱ）设a 为乙公司员工 B 投递件数，则 当 a =34 时， X =136 元，当a >35 时， 35 4 ( 35) 7X a     元， X 的可能取值为 136,147,154,189,203 --