平行四边形中的折叠问题-2019-2020学年八年级下册初二数学学案类课时强化补充练习(人教)

平行四边形中的折叠问题 一、新课导入 （一）学习目标 熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题． （二）预习导入 1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（　　）． A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________． 二、典型问题 知识点一：在折叠中求角度和边长 例1 如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________． 分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长． 知识点二：在折叠中判定平行四边形 例2 如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形． 分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解． 三、阶梯训练 A组：基础练习 1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________． 2． 把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm． 3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________． 4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________． 5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形． 6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积． B组：拓展练习 7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________． 8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________． 9． 如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN． （1）求△AEN的面积； （2）试判断EF与AN的关系，并说明理由． 平行四边形中的折叠问题答案 预习导入 1．B． 2．6． 例1 30°，． 例2 连接AE，AC交EF于O． 由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC， ∴AE=CE，AF=CF． ∵AB∥CD， ∴∠ECO=∠OAF． 在△AOF与△COE中， ∴△AOF≌△COE． ∴AF=CE． ∴AE=AF=CE=CF． ∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形． 1．105°． 2．5． 3．7． 4．40°． 5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥FC． ∵点E是AB边的中点， ∴AE=BE． ∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处， ∴BE=GE，∠CEB=∠CEG． ∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE． ∵∠BEG=∠FAE+∠AGE， ∴∠FAE=∠BEG． 又∵∠CEB=∠CEG=∠BEG，∴∠FAE=∠CEB． ∴AF∥EC． ∴四边形AECF是平行四边形． 6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABD=∠CDB． 由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB， ∴∠EBD=∠FDB． ∴EB∥DF． ∵ED∥BF， ∴四边形BFDE为平行四边形． （2）∵四边形BFDE为菱形， ∴∠EBD=∠FBD． ∵∠EBD=∠ABE， ∴∠EBD=∠FBD=∠ABE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=9