正方形的性质与判定综合问题-2019-2020学年八年级下册初二数学学案类课时强化补充练习(人教)

正方形的性质与判定综合问题 一、新课导入 （一）学习目标 学会运用数形结合思想，能根据题意结合正方形的性质和判定列出方程进行相关的计算或证明，解决有关综合类问题． （二）预习导入 如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（　　）． A． 20° B． 25° C． 35° D． 40° 二、典型问题 知识点一：正方形中利用三边关系来确定最值问题 例1．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH的长度的最小值是______． 分析：取AB的中点为O，连接OH，OD，由已知条件和勾股定理求出OD=，OH=1，因为△ADG≌△CDG，∠DAG=∠DCG，△ABE≌△DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠ABE＋AEB=90º，∴∠DAG＋∠AEB=90º，∴∠AHE=90º，∴AH⊥BE，∴OH是直角三角形ABH斜边中线，等于斜边AB的一半，所以等于1，根据三角形三边关系当O，H，D三点共线时DH长度最小，为DH=DO-OH=－1．故填： 知识点二：与正方形有关的综合类证明问题 例2．（2019年淄博市）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．试证明DM⊥MG，并求的值． 分析：延长DM交FG的延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，求出BM，MG即可解决问题． 证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H． 三、阶梯训练 A组：基础练习 1．如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( ) ． A．50° B．55° C．70° D．75° 2．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是 ． 3．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_____． 4．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是 ． 5． （2019年甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G． （1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接BF，证明：AB＝FB． 6．正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45°，∠BAF=15°． （1）求证：DE﹣EF=BF； （2）若AD=，求△AEF的面积． B组：拓展练习 7．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF．则∠OFG的度数是（　　）． A． 60° B． 45° C． 30° D． 75° 8．如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，则AC= ________ 9．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 正方形的性质与判定综合问题答案 预习导入 C 例1． 例2．如图，延长DM交FG的延长线于H． ∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF．∴∠EDM＝∠FHM． ∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，∴△EDM≌△FHM（AAS）． ∴DE＝FH，DM＝MH．∵DE＝2FG，BG＝DG，∴HG＝DG． ∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，∴GM⊥DM，DM＝MG． 连接EB，BF． 设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a， ∵∠EBD＝∠DBF＝45°，∴∠EBF＝90°． ∴EF＝＝a．∵EM＝MF，∴BM＝EF＝a． ∵HM＝DM，GH＝FG，∴MG＝DF＝a．∴＝＝． 1． C．2．－2．3．（）n﹣1 4．60° ． 5．：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC． 又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF． ∴∠DAG＝∠CDE．∴△ADG≌△DCE（ASA）； （2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H． ∵E是BC的中点，∴BE＝CE