第五章 5.1 5.1.2　垂线-七年级下册初一数学【优化探究】（人教版）

5．1　相交线 5．1.2　垂线 授课提示：对应学生用书第4页 ◆ 知识梳理 ◆ 1．垂直： (1)垂直及相关定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足，垂直是相交的一种特殊情形． (2)垂直的记法和读法：如图，直线AB，CD互相垂直， 记作：AB⊥CD；读作：AB垂直于CD. 2．垂直的性质： 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线处一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单地说成：垂线段最短． 3．点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度． ◆ 预习自测 ◆ 1．判断对错： (1)两条直线相交，有一组邻补角相等，那么这两条直线垂直．(√) (2)在平面内，经过直线上的一点，可以作无数条直线与已知直线垂直．(×) (3)点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线的长度．(×) 2．到直线l的距离等于2 cm的点有(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．无数个 D．无法确定 答案：C 3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(　　) A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠BOC＋∠BOD＝180° D．∠AOC＋∠BOD＝180° 答案：C 4．如图所示，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是(　　) A．线段OA B．线段OA的长度 C．线段OB的长度 D．线段AB的长度 答案：B 授课提示：对应学生用书第5页 知识点一　垂直的定义、性质及应用 [例1]　如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，∠DOE＝43°，求∠AOF的度数． [解析]　因为OE⊥AB，所以∠BOE＝90°. 因为∠DOE＝43°， 所以∠BOD＝90°－∠DOE＝90°－43°＝47°， 所以∠AOC＝47°. 因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°， 所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝47°＋90°＝137°. 垂直定义的应用 应用垂直的定义解题，要理解其定义的两个方面： (1)由两直线垂直可得其夹角为90°. (2)由两直线的夹角为90度，可得两直线互相垂直．　 [跟踪训练] 　如图所示，直线AB，CD相交于点O，过点O画射线OE，OF，若∠DOF＝40°，∠DOF＝∠AOC，∠BOE∶∠COE＝5∶9，请你猜想OE与CD的位置关系，并说明理由． 解析：OE与CD互相垂直．理由如下：因为直线AB，CD相交于点O，所以∠DOB＝∠AOC. 因为∠DOF＝∠AOC，∠DOF＝40°， 所以∠DOB＝∠DOF＝40°. 因为∠BOE∶∠COE＝5∶9， 所以设∠BOE＝5x°，则∠COE＝9x°. 因为∠COD＝180°， 所以∠BOC＝180°－∠DOB＝180°－40°＝140°， 即∠BOE＋∠COE＝140°. 由此得5x＋9x＝140，解得x＝10， 所以∠COE＝9x°＝90°， 所以OE与CD互相垂直． 知识点二　垂线的画法、性质及其应用 [例2]　如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据． [解析]　(1)如图所示，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池的位置，它到四个村庄距离之和最小． (2)如图所示，过点H作HG⊥EF，垂足为点G，则沿HG开渠最短．根据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 画线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在线段上或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上． 利用“垂线段最短”来解决实际问题应注意“垂线段最短”与“两点之间，线段最短”的区别．　 [纠错训练] 　如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案． 方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道． 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道． 按哪一种方案铺设管道更节省材料？为什么？ 解析：按方案一铺设管道更节省材料．理由如下： 因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD，所以沿CE，DF铺设管道，即按方案一铺设管道更节省材料． 知识点三　点到直线的距离 [例3]　点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上的三点，PA＝5 cm，PB＝6 cm，PC＝3 cm，求点P到直线m的距离． [解析]　分两种情况： (1)当PC⊥m时，如图1所示，垂足D与C重合，点P到直线m的距离就是PC的长度