第17章 勾股定理（单元总结）-2019-2020学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第十七章 勾股定理 单元总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 勾股定理 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式： 1）a²=c²- b² 2）b²=c²- a² 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 方法三：，，化简得证 【典型例题】 1．（2019·宝鸡市期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对 2．（2019·扬州中学教育集团树人学校初二期中）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ） A．10 B．8 C．6或10 D．8或10 3．（2019·鞍山市期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　） A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米 4．（2018·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初二期中）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ 　） A．25 B．14 C．7 D．7或25 5．（2019·许昌市第二中学初二期中）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A． B．. C．. D．. 6．（2018·蒙阴县期中）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 7．（2019·汕头市期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，则AD等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2019·扬州市梅岭中学初二期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2019·宜昌市期中）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( ) A．9 B．10 C． D． 10．（2018·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初二期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　） A．64 B．16 C．8 D．4 知识点二 勾股定理的逆定理 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 注意： ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系： 联系： 1、 两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。 2、 两者是互逆定理。 区别： 1、 两者的条件与结论相反。 2、 勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法。 【典型例题】 11．（2019·河