专题小练：与勾股定理结合的新定义三角形练习-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题小练：与勾股定理结合的新定义三角形练习 所谓“新定义”试题是指给出一个从未接触过的新规定，综合学生所学知识，对新的概念，新的运算，新的符号，新的图形，新的定理，新的操作规则与程序相结合，考查到了学生数形结合思想，类比思想，转化思想及分类讨论思想等等，下面我们就来学习一下与勾股定理相关的一些新定义问题 1．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知Rt△ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则它的周长等于　 　． 2．如果一个直角三角形的两条直角边的比为1：2，那么这个三角形叫做“完美三角形”，如图，正方形网格中，已知格点A，B，在格点M，N，P，Q中，与A，B能构成“完美三角形”的点是 ． 3.若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长． 4. 定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形． （1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题； （2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x，y和z，且xy=2160°，求x+y的值； （3）如图，△ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：△ABC是勾股三角形． 5．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， （1）如图△ABC中，AB=AC=，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 6.通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.[来源:学&科&网Z&X&X&K] （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或不是）； （2）若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据； （3）在中，两边长分别为，且且，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究:Rt中,,且b>a,若Rt是奇异三角形，求. 7．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.[来源:学科网] ●特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高.若BD=2，AD=2，试求线段CD的长度. ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E. 若CE=a，试求线段DE的长度. 8．定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，若a，b，c满足ac+a2=b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题： （1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）； （2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC＞AB，请求∠A的度数； （3）如图2，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC为“类勾股三角形”． 9．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”． 理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，=，求证：△ABC是“和美三角形”． 运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长（画图解答）． 专题小练：与勾股定理结合的新定义三角形练习答案 1． 5+3或5+5． 　． 2．M ， Q ． 3.设三边长为a，b，c，其中c是斜边， 则有把（2）代入（1）得∴ 即 ab(ab−4a−4b+8)＝0． ∵ab≠0,∴ab-4a-4b+8=0．∴ a＝4+（a，b为正整数）． ∴b-4=1，2，4，8．∴b=5，6，8，12， 对应的a=12，8，6，5且c=13，10，10，13